Отметим, что точка
x
=
y
= 0
,
z
= 2
γ
удовлетворяет уравнению
связи. Поэтому в любых ситуациях точная верхняя грань функции
будет неотрицательной, а точная нижняя — неположительной.
Найденные значения
p
inf
и
p
sup
для каждого
q
дают локализующее
множество
Ω
q
=
{
(
x, y z
) :
p
inf
≤
p
(
x, y, z
)
≤
p
sup
}
.
В задаче поиска точной верхней и точной нижней граней возникает
два случая. При
q >
0
множество
S
p
, на котором исследуется функция
p
(
x, y, z
)
, компактно. Поэтому точная верхняя и точная нижняя грани
функции
p
(
x, y, z
)
будут достигаться в точках условного локального
экстремума, а для исследования этой функции можно использовать
метод Лагранжа. При
q <
0
множество
S
p
представляет собой неогра-
ниченную поверхность; исследование с помощью метода Лагранжа в
данном случае будет недостаточным.
Локализующие множества в случае
q >
0
.
При
q >
0
точка
(0
,
0
,
2
γ
)
есть точка глобального минимума функции
p
(
x, y, z
)
, рав-
ного нулю. Эта точка удовлетворяет уравнению связи и в двойном
неравенстве
p
inf
≤
p
(
x, y, z
)
≤
p
sup
, описывающем локализующее мно-
жество
Ω
q
, левую часть можно опустить.
Точную верхнюю грань функции
p
(
x, y, z
)
на множестве
S
p
мож-
но найти, сравнивая значения этой функции в стационарных точках
функции Лагранжа. Проведя вычисления, получаем
p
sup
= 4
ργ
2
, где
ρ
=
1
, ν
= min
{
ν
1
;
ν
2
} ≥
ν
3
2
;
ν
2
3
4(
ν
3
−
ν
)
ν
, ν <
ν
3
2
.
Таким образом, имеем семейство локализующих множеств
Ω
q
, опи-
сываемых неравенством
Ω
q
: (
q
+ 1)
x
2
+
qy
2
+
z
−
β
(2
q
+ 1)
2
≤
ρβ
2
(2
q
+ 1)
2
, q >
0
.
(1)
Teoрема 1.
Квадратное неравенство
Ax
2
+
Bx
+
C
≥
0
, где
A
≥
0
,
выполняется для всех значений
x
2
(
α, β
)
, где
−∞ ≤
α < β
≤
+
∞
,
тогда и только тогда, когда коэффициенты
A
,
B
и
C
удовлетворяют
какому-либо из трех условий
:
1)
b
2
≤
4
AC
; 2)
(
Aα
2
+
Bα
+
C
≥
0
,
2
αA
+
B
≥
0;
3)
(
Aβ
2
+
Bβ
+
C
≥
0
,
2
βA
+
B
≤
0
(
при
α
=
−∞
опускается вторая группа условий, а при
β
= +
∞
—
третья
).
Доказательство.
На данном интервале
(
α, β
)
функция
f
(
x
) =
=
Ax
2
+
Bx
+
C
неотрицательна в трех случаях:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
5
