+
ν
3
Z
2
=
ν
3
γ
2
) при
Z
→
+
∞
. Значит, при
ν
2
=
ν
3
локализующее
множество
Ω
q
,
q <
−
1
, тривиально:
Ω
q
=
R
3
.
В случае
μ
1
≤
0
,
μ
3
>
0
(т.е.
ν
3
< ν
2
≤
ν
1
) многочлен
p
(
X, Z
)
с
положительно определенной квадратичной формой рассматривается в
замкнутой области, ограниченной гиперболой с действительной осью
OZ
. В этом случае
p
sup
= +
∞
достигается при
X
= 0
,
Z
→
+
∞
.
Значение
p
inf
достигается при
X
= 0
. С учетом этого получаем задачу
поиска точной нижней грани
μ
3
Z
2
−
2
γZ
+(2
−
μ
3
)
γ
2
при
|
Z
| ≥
γ
. Так
как
μ
3
>
0
, глобальный минимум этой функции попадает в область
|
Z
| ≥
γ
. Значит,
p
inf
= 4
τ
2
γ
2
, а локализующее множество имеет вид
Ω
q
: (
q
+ 1)
x
2
+
qy
2
+
z
−
β
(2
q
+ 1)
2
≥
τ
2
β
2
(2
q
+ 1)
2
,
(18)
причем
τ
2
<
0
. Собирая коэффициенты при степенях
q
, неравенство
(18) можем представить в виде
4
β
2
(1
−
τ
2
)
q
2
+ 4
β
2
(1
−
τ
2
) +
x
2
+
y
2
−
4
βz q
+
+
−
β
2
τ
2
+
x
2
+ (
z
−
β
)
2
≥
0
, q <
−
1
.
(19)
По
теореме 1
неравенство
Ax
2
+
Bx
+
C
≥
0
выполняется при
x <
−
1
, если выполняется неравенство
B
2
≤
4
AC
или пара нера-
венств
A
−
B
+
C
≥
0
,
B
−
2
A
≤
0
. Указанные условия эквивалентны
следующему ограничению на
B
сверху:
B
≤
(
A
+
C, C
≤
A
;
√
4
AC, C
≥
A.
(20)
Оно, применительно к выражению (19), дает неравенства, описываю-
щие пересечение
Ω
(
−∞
,
−
1)
в случае
ν
3
< ν
2
≤
ν
1
:
y
2
≤
(
(
z
+
β
)
2
−
τ
2
β
2
, x
2
+ (
z
−
β
)
2
≤
(4
−
3
τ
2
)
β
2
;
g
1
(
τ
2
, x, z
)
,
x
2
+ (
z
−
β
)
2
>
(4
−
3
τ
2
)
β
2
,
(21)
где
g
1
(
τ
2
, x, z
) = 4
β
p
(1
−
τ
2
)[
x
2
+ (
z
−
β
)
2
−
τ
2
β
2
]
−
x
2
+4
βz
−
4
β
2
(1
−
τ
2
)
.
При
μ
1
>
0
,
μ
3
>
0
(т.е.
ν
1
< ν
2
,
ν
3
< ν
2
) функция
−
μ
1
X
2
+
+
μ
3
Z
2
−
2
γZ
+ (2
−
μ
3
)
γ
2
имеет
p
sup
= +
∞
, достигаемый при
X
= 0
и
Z
→ ∞
. Значение
p
inf
достигается на границе области (при фик-
сированном
Z
наименьшее значение функции достигается при мак-
симальном
X
), т.е. при
−
ν
1
X
2
+
ν
3
Z
2
=
ν
3
γ
2
. Мы снова приходим
к исследованию на минимум функции
σZ
2
−
2
γZ
+ (2
−
σ
)
γ
2
, где
σ
= 1
−
ν
3
/ν
1
, на множестве
|
Z
| ≥
γ
. Если
σ
≤
0
(т.е.
ν
1
≤
ν
3
),
точной нижней гранью этой функции является
−∞
. Если же
σ >
0
(т.е.
ν
1
> ν
3
), то в силу неравенства
σ
≤
1
заключаем, что функция
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
11
