компоненте, последние два условия в системе (1) — это условия иде-
ального контакта матрицы и волокон, и условия на
α
.
Пусть теперь композиционный материал обладает периодической
структурой (см. рис. 1), ячейка периодичности (ЯП)
V
ξ
которого со-
стоит из
N
компонентов
V
αξ
,
α
= 1
, . . . , N
. Введем малый параметр
κ
=
l/L
1
как отношение характерного размера ЯП к характерно-
му размеру всего композита, а также глобальные
x
k
и локальные
ξ
k
координаты. Будем полагать, что матрица является связной областью.
Обозначим также
Σ
ξαN
= Σ
αN
∩
V
ξ
— поверхности раздела матрицы и
волокон в ЯП.
В этом случае для такой структуры может быть применен метод
асимптотического осреднения [1–5], согласно которому решение за-
дачи (1) для матрицы и волокон строится в виде асимптотических
разложений [5]:
u
α
i
=
u
(0)
i
(
x
k
) +
κu
α
(1)
i
(
x
k
, ξ
l
) +
κ
2
. . . ,
ε
α
ij
=
ε
α
(0)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
κε
α
(1)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
κ
2
. . . ,
σ
α
ij
=
σ
α
(0)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
κσ
α
(1)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
κ
2
. . . ,
(2)
причем по аргументу
ξ
l
эти функции полагаются периодическими.
Деформации и напряжения “нулевого уровня” имеют следующий вид:
ε
α
(0)
ij
= ˉ
ε
ij
+
1
2
(
u
α
(1)
i/j
+
u
α
(1)
j/i
)
,
(3)
ˉ
ε
ij
=
1
2
u
(
O
)
i,j
+
u
(
O
)
j,i
,
(4)
σ
α
(0)
ij
=
F
α
ij
ε
α
(0)
kl
,
если
ξ
k
2
V
αξ
, α
= 1
, . . . , N.
(5)
Здесь
,
l
=
∂/∂x
l
и
/l
=
∂/∂ξ
l
— производные по двум типам координат.
При выводе формул (3)–(5) и далее используется правило дифферен-
цирования асимптотических разложений:
∂f
(
x
i
, ξ
i
)
∂x
j
→
∂f
(
x
i
, ξ
i
)
∂x
j
+
∂f
(
x
i
, ξ
i
)
∂ξ
k
∂ξ
k
∂x
j
=
∂f
(
x
i
, ξ
i
)
∂x
j
+
1
κ
∂f
(
x
i
, ξ
i
)
∂ξ
k
.
Подставляя разложения (2) в систему (1), применяя правило диф-
ференцирования и собирая члены при одинаковых степенях
k
, полу-
чаем так называемую локальную задачу на ячейке периодичности:
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
