число узлов сетки составит
10
6
, а число необходимых для решения за-
дач Ж
pq
составит
6
∙
10
6
. Однако, если в расчетах используется модель
малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина, то указан-
ное число задач Ж
pq
может быть существенно сокращено.
Случай малых упруго-пластических деформаций А.А. Илью-
шина.
В случае малых упруго-пластических деформаций пластично-
сти А.А. Ильюшина [8] операторы
F
α
ij
(
ε
α
kl
)
в системе (1) для волокон
и матрицы имеют вид
σ
α
ij
=
2
3
G
α
(1
−
ω
α
u
)
−
K
α
ε
α
kk
δ
ij
+ 2
G
α
(1
−
ω
α
u
)
ε
α
ij
,
(44)
где
G
α
— модуль сдвига,
K
α
– модуль объемного сжатия,
ω
α
u
(
I
ε
(
α
)
2
)
— функция пластичности А.А. Ильюшина, причем линеаризованные
определяющие соотношения (9) на
m
-м шаге будут иметь следующий
вид:
σ
α
{
m
}
ij
=
2
3
G
α
1
−
ω
α
{
m
}
u
−
K
α
ε
α
{
m
}
kk
δ
ij
+2
G
α
1
−
ω
α
{
m
}
u
ε
α
{
m
}
ij
−
−
2
3
G
α
1
−
ω
α
{
m
}
u
−
K
α
ε
α
{
m
−
1
}
kk
δ
ij
+
+ 2
G
α
1
−
ω
(
m
)
u
ε
(
k
−
1)
ij
+ ˜
σ
α
{
m
−
1
}
ij
.
(45)
Соотношения (42) не зависят от траектории в пространстве дефор-
маций, и часто решения прикладных задач ограничиваются слу-
чаем простого (пропорционального) деформирования, при котором
ˉ
ε
pq
(
t
) = ˉ
ε
0
pq
Ψ(
t
)
, здесь
t
— параметр кривой в пространстве дефор-
маций
ˉ
ε
pq
. Тогда в шестимерном пространстве инвариантов
I
ε
γ
, этой
кривой будет соответствовать луч
I
ε
γ
(
t
) =
I
0
γ
Ψ(
t
)
, где
I
0
γ
выражаются
через
ˉ
ε
0
pq
по формулам (37). Вводя сетку вдоль этого луча
I
ε
γi
γ
=
i
Ψ
I
0
γ
,
γ
= 1
, . . . ,
5
,
7
, где
Ψ = Ψ
max
/N
— приращение параметра деформи-
рования (шаг сетки), получим, что число задач Ж
pq
, необходимое для
расчета эффективных упруго-пластических функций
ϕ
γ
составит
6
N
.
Случай кубической симметрии.
Для композита, у которого арми-
рование осуществлено одинаковым образом относительно всех трех
осей координат, ячейка периодичности будет иметь кубическую сим-
метрию [9], а число независимых инвариантов тензоров
I
σ
α
и
I
ˉ
ε
α
равно
трем. В качестве таких инвариантов могут быть выбраны спектраль-
ные инварианты [9], которые образуются с помощью спектрального
разложения симметричных тензоров второго ранга относительно ку-
бической группы симметрии [9]:
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
