σ
α
(0)
ij/j
= 0
,
в
V
ξ
,
σ
α
(0)
ij
=
F
α
ij
ε
α
(0)
kl
,
в
V
ξ
∪
Σ
s
,
ε
α
(0)
ij
= ˉ
ε
ij
+
1
2
u
α
(1)
i/j
+
u
α
(1)
j/i
,
в
V
ξ
,
u
α
(1)
i
=
u
N
(1)
i
σ
α
(1)
ij
−
σ
N
(1)
ij
n
j
= 0
на
Σ
ξαN
,
D
u
α
(1)
i
E
= 0
,
hh
u
α
(1)
i
ii
= 0
.
(6)
Здесь
h
u
α
i
i
=
N
X
α
=1
Z
V
ξα
u
α
i
dV
ξ
,
ε
α
ij
=
N
X
α
=1
Z
V
ξα
ε
α
ji
dV
ξ
(7)
— операторы осреднения.
В выражении (6) условие
[
u
α
i
] = 0
— это условие периодичности
функций на границе ячейки периодичности, а условие
h
u
α
i
i
= 0
вызва-
но требованием единственности решения локальной задачи [3]. В силу
периодичности функций
u
α
(1)
i
имеет место следующее соотношение:
ˉ
ε
ij
=
D
ε
α
(0)
ij
E
=
1
2
u
(0)
i,j
+
u
(0)
j,i
.
(8)
Метод упругих решений для локальных задач Ж
pq
на ячей-
ке периодичности.
. Будем полагать далее, что волокна и матрица —
изотропные, а ЯП является симметричной при зеркальном отражении
относительно трех координатных плоскостей
Σ
s
=
{
ξ
s
= 0
}
,
а так-
же симметричной относительно поворота на угол
π
вокруг каждой
оси координат
Oξ
s
и симметричной при преобразовании центральной
симметрии с центром в точке O (подробнее об этих преобразовани-
ях см. работу [9]). Это ограничение назовем
основным допущением
симметрии композита
. Согласно этому допущению, вместо решения
локальной задачи (6) на всей ЯП
V
ξ
, можно перейти к решению задачи
на области
˜
V
ξ
, представляющей 1/8 ЯП.
Поскольку задача (6) нелинейная, то для ее решения применим
итерационный метод, являющийся разновидностью метода упругих
решений [8]. Согласно этому методу определяющие соотношения в
системе (6) для компонентов композита линеаризуются следующим
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
29
