и не зависят от третьего инварианта в этой группе
I
ε
(
α
)
3
= det(
ε
α
ij
)
,
тогда эффективные упругопластические функции (33), (34) компози-
та являются: а) индифферентными относительно группы ортотропии,
б) квазилинейными: зависящими только от линейных и квадратичных
инвариантов тензора осредненных деформаций
I
ε
1
,
I
ε
2
,
I
ε
3
,
I
ε
4
,
I
ε
5
,
I
ε
7
и
не зависящими от кубического инварианта
I
ε
6
, т.е. имеют следующий
вид:
ˉ
σ
ij
= ˉ
F
ij
(ˉ
ε
pq
) =
3
P
γ
=1
ϕ
γ
δ
iγ
δ
jγ
+
1
2
ϕ
4
ˉ
ε
23
(
δ
i
2
δ
j
3
+
δ
i
3
δ
j
2
)+
+
1
2
ϕ
5
ˉ
ε
13
(
δ
i
1
δ
j
3
+
δ
i
3
δ
j
1
) +
1
2
ϕ
7
ˉ
ε
12
(
δ
i
1
δ
j
2
+
δ
i
2
δ
j
1
)
(41)
ϕ
γ
=
ϕ
γ
(
I
ε
1
, I
ε
2
, I
ε
3
, I
ε
4
, I
ε
5
, I
ε
7
)
(42)
а
ϕ
6
= 0
.
Доказательство.
Утверждение а) было нами доказано ранее. Эф-
фективные упругопластические функции (34) композита полностью
определяются видом символического оператора (34) эффективных
определяющих соотношений, который в свою очередь определяется
решением локальной задачи (13), (16), (17). Решение же этой задачи
зависит от
ˉ
ε
pq
только через граничные условия (16), в которых де-
формации
ˉ
ε
pq
входят в виде комбинаций
I
ε
1
= ˉ
ε
11
,
I
ε
2
= ˉ
ε
22
,
I
ε
3
= ˉ
ε
33
,
p
I
ε
4
=
|
ˉ
ε
23
|
,
p
I
ε
5
=
|
ˉ
ε
13
|
,
p
I
ε
6
=
|
ˉ
ε
12
|
, совпадающих с шестью
указанными инвариантами тензора
ˉ
ε
pq
. Зависимости от кубического
инварианта
I
ε
6
у данного оператора нет. Таким образом и утверждение
б) теоремы, а следовательно, и сама теорема доказаны.
Если выполнены условия теоремы, то соотношения (39) для нахо-
ждения эффективных упруго-пластических функций
ϕ
γ
упрощаются
и имеют вид
ϕ
1
=
I
σ
1
,
ϕ
2
=
I
σ
2
,
ϕ
3
=
I
σ
3
,
ϕ
2
4
=
I
σ
4
/I
ε
4
,
ϕ
2
5
=
I
σ
5
/I
ε
5
,
ϕ
2
7
=
I
σ
7
/I
ε
7
(43)
Для того чтобы воспользоваться этими соотношениями, необхо-
димо: 1) в шестимерном пространстве инвариантов
I
ε
1
, I
ε
2
,
I
ε
3
,
I
ε
4
,
I
ε
5
,
I
ε
7
ввести область допустимых значений, например, шестимерный куб
Q
6
=
{
a
min
≤
I
ε
γ
≤
a
max
,
γ
= 1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
7
}
; ввести сетку
I
ε
γi
γ
=
i
γ
I
,
γ
= 1
, . . . ,
5
,
7
, где
I
ε
γi
γ
— значения инварианта
I
ε
γ
в узле сетки с ше-
стимерным номером
i
γ
,
γ
= 1
, . . . ,
5
,
7
, а
I
= (
a
max
−
a
min
)
/N
— шаг
сетки; 2) для каждого значения
I
ε
γi
γ
,
γ
= 1
, . . . ,
5
,
7
в узле сетки решить
серию задач Ж
pq
и, получив значения осредненных напряжений (33)
ˉ
σ
ij
, найти значения их инвариантов
I
σ
γi
γ
; 3) по формулам (43) найти
значения
ϕ
γi
γ
функций
ϕ
γ
.
Данный способ приводит к значительному числу вычислений, так,
если введена сетка с числом узлов на ребре куба
Q
6
N=10, то общее
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
37
