где
K
=
Z
V
B
т
CBdV
(30)
— локальная матрица жесткости,
B
=
DΦ
, а
f
=
Z
Σ
Φ
т
S d
Σ +
Z
V
B
т
˜
σdV
(31)
— столбец нагрузок.
Глобальная матрица жесткости задачи составляется из локальной
матрицы жесткости стандартным образом [10], после ее формирова-
ния к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применя-
ются граничные условия (16) и (17). Граничные условия идеального
контакта (последняя группа соотношений в системе (13)) не требуют
специального учета, так как при данном варианте МКЭ они удовле-
творяются автоматически.
Решая СЛАУ, находим перемещения
q
в узлах, по которым вычи-
сляем псевдоперемещения
U
=
Φq
, деформации
ε
=
Bq
и напряжения
σ
{
m
}
=
CBq
−
ˆ
σ
{
m
−
1
}
в КЭ. Для решения СЛАУ применялся метод
сопряженных градиентов.
Рассматривались два типа конечных элементов — четырех узло-
вой тетраэдр, обеспечивающий линейную аппроксимацию псевдопе-
ремещений
U
и приводящий к постоянным напряжениям
σ
в каждом
КЭ, а также десяти узловой тетраэдр, обеспечивающий квадратичную
аппроксимацию псевдоперемещений и линейную аппроксимацию на-
пряжений в КЭ.
Каждая из указанных задач Ж
pq
решалась несколько раз: при за-
данных значениях деформаций
ˉ
ε
pq
осуществлялся итерационный цикл
решения соответствующей задачи до достижения условия сходимости
решения, которое выбиралось следующим образом:
3
X
β,γ
=1
σ
(
α
)
{
m
}
βγ
(
pq
)
−
σ
(
α
)
{
m
−
1
}
βγ
(
pq
)
∙
3
X
β,γ
=1
σ
(
α
)
{
m
−
1
}
βγ
(
pq
)
−
1
≤
δ,
(32)
где
δ
= 0
,
01
. . .
0
,
001
. Число итераций
m
=
M
, обеспечивающее вы-
полнение данного условия, было различным для разных задач Ж
pq
и для разных значений
ˉ
ε
pq
, но не превышало 10. . . 15. Напряжения
при максимальном значении номера итерации
m
=
M
обозначались
как
σ
(
α
)
{
M
}
βγ
(
pq
)
. Для повышения устойчивости счета задачи Ж
11
, Ж
22
и
Ж
33
решались совместно — как общая задача с входными данными
ˉ
ε
11
,
ˉ
ε
22
и
ˉ
ε
33
. Также совместно решались задачи Ж
13
и Ж
31
, Ж
12
и Ж
21
,
Ж
23
и Ж
32
.
Далее совершался еще один цикл решения задач Ж
pq
— по
значениям входных данных
ˉ
ε
pq
.
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
