скалярные функции от семи инвариантов тензора осредненных дефор-
маций (независимых из них только шесть):
I
ε
1
= ˉ
ε
11
, I
ε
2
= ˉ
ε
22
, I
ε
3
= ˉ
ε
33
, I
ε
4
= ˉ
ε
2
23
,
I
ε
5
= ˉ
ε
2
13
, I
ε
6
= ˉ
ε
13
ˉ
ε
12
ˉ
ε
23
, I
ε
7
= ˉ
ε
2
12
.
(37)
Эти функции
ϕ
γ
фактически и представляют собой искомые эффек-
тивные упругопластические характеристики композита. Зная значения
ˉ
σ
ij
и
ˉ
ε
pq
, функции
ϕ
γ
могут быть вычислены следующим образом. За-
пишем формулы (35) в явном виде:
ˉ
σ
11
=
ϕ
1
(
I
ε
1
, . . . , I
ε
7
)
,
ˉ
σ
22
=
ϕ
1
(
I
ε
1
, . . . , I
ε
7
)
,
ˉ
σ
33
=
ϕ
1
(
I
ε
1
, . . . , I
ε
7
)
,
ˉ
σ
23
=
ϕ
4
ˉ
ε
23
+
ϕ
6
ˉ
ε
12
ˉ
ε
13
,
ˉ
σ
13
=
ϕ
5
ˉ
ε
13
+
ϕ
6
ˉ
ε
12
ˉ
ε
23
,
ˉ
σ
12
=
ϕ
7
ˉ
ε
12
+
ϕ
6
ˉ
ε
13
ˉ
ε
23
,
(38)
а затем образуем из этих соотношений семь инвариантов тензора
средних напряжений
I
σ
γ
,
γ
= 1
, . . . ,
7
, аналогичных инвариантам
I
ε
γ
,
γ
= 1
, . . . ,
7
(37), в результате получим систему семи нелинейных
уравнений относительно семи функций
ϕ
γ
:
I
σ
1
=
ϕ
1
, I
σ
2
=
ϕ
2
, I
σ
3
=
ϕ
3
,
I
σ
4
=
ϕ
2
4
I
ε
4
+ 2
ϕ
6
ϕ
4
I
ε
5
I
ε
7
+
ϕ
2
6
I
ε
6
, I
σ
5
=
ϕ
2
5
I
ε
5
+ 2
ϕ
6
ϕ
5
I
ε
4
I
ε
7
+
ϕ
2
6
I
ε
6
,
I
σ
7
=
ϕ
2
7
I
ε
7
+ 2
ϕ
7
ϕ
6
I
ε
4
I
ε
5
+
ϕ
2
6
I
ε
6
,
I
σ
6
= (
ϕ
4
ϕ
5
ϕ
7
+
ϕ
2
6
(
ϕ
4
+
ϕ
5
+
ϕ
7
))
I
ε
6
+
ϕ
5
ϕ
6
ϕ
7
I
ε
2
5
I
ε
2
7
+
+
ϕ
4
ϕ
6
ϕ
7
I
ε
2
4
I
ε
2
7
+
ϕ
4
ϕ
5
ϕ
6
I
ε
2
4
I
ε
2
5
+
ϕ
3
6
I
ε
2
6
,
(39)
решая которую находим искомые эффективные упругопластические
функции композита (34).
Теорема
. Пусть для композита с периодической структурой вы-
полнены следующие условия: 1) принято основное допущение сим-
метрии, 2) волокна и матрица являются квазилинейными упруго-
пластическими изотропными материалами, т.е. их операторы (5)
F
α
ij
(
ε
α
kl
) =
F
α
ij
I
ε
(
α
)
1
, I
ε
(
α
)
2
зависят только от двух инвариантов тензо-
ра деформаций относительно группы изотропии:
I
ε
(
α
)
1
=
ε
α
11
+
ε
α
22
+
ε
α
33
, I
ε
(
α
)
2
=
= (
ε
α
11
−
ε
α
22
)
2
+ (
ε
α
33
−
ε
α
22
)
2
+ (
ε
α
11
−
ε
α
33
)
2
+ 6(
ε
α
2
13
+
ε
α
2
12
+
ε
α
2
23
)
,
(40)
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
