Распределение числа страховых случаев по всему портфелю явля-
ется отрицательным биномиальным распределением с параметрами
p
=
λ
λ
+ 1
и
α
:
p
(
k, λ, α
) =
P
(
ν
=
k
) =
α
(
α
+ 1)
. . .
(
α
+
k
−
1)
k
!
p
α
(1
−
p
)
k
, k
= 0
,
1
, . . .
Среднее число страховых случаев по всему портфелю
E
(
ν
) =
α
λ
.
Обозначим через
ν
(
m
)
случайную величину, равную числу страхо-
вых случаев за
m
лет. Тогда
ν
(
m
)
имеет отрицательное биномиальное
распределение с параметрами
e
p
=
λ
λ
+
m
и
α
, а условное распределе-
ние параметра
θ
при условии
{
ν
(
m
) =
k
}
— это гамма-распределение
с параметрами
e
α
=
α
+
k
и
e
λ
=
λ
+
m
. В результате, для апостериорно-
го среднего получаем
E
(
ν
|
ν
(
m
) =
k
) =
α
+
k
λ
+
m
, и, наконец, страховая
премия, выраженная в процентах к базовой премии, вычисляется по
формуле
P
0
(
m, k
) = 100
(
α
+
k
)
λ
α
(
λ
+
m
)
.
б
)
бета-биномиальная модель.
Пусть условное распределение чи-
сла страховых случаев при заданном значении параметра
ϑ
является
биномиальным с параметрами
θ
и
n
, т.е.
p
(
k, n θ
) =
C
k
n
θ
k
(1
−
θ
)
n
−
k
, k
= 0
,
1
, . . . , n, θ
2
(0
,
1)
,
где параметр
n
— общий для всей совокупности договоров, а параметр
θ
, в соответствии с принципом рандомизации, характеризует каждый
отдельно взятый договор.
Относительно параметра
θ
предполагаем, что он является случай-
ным с плотностью распределения
g
θ
(
t, α, β
) =
1
B
(
α, β
)
t
α
−
1
(1
−
t
)
β
−
1
, t
2
(0
,
1)
, α >
0
, β >
0
,
(5)
где
B
(
α, β
) =
1
Z
0
t
α
−
1
(1
−
t
)
β
−
1
dt
— бета-функция Эйлера.
Для случайно выбранного договора число страховых случаев
ν
имеет следующее распределение:
P
(
k, α, β, n
) =
P
(
ν
=
k
) =
C
k
n
B
(
α
+
k, β
+
n
−
k
)
B
(
α, β
)
, k
= 0
,
1
, . . . , n.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
83
