Среднее число страховых случаев для случайно выбранного договора
равно
E
(
ν
) =
∞
X
k
=0
kP
(
k, α, β
) =
β
α
−
1
.
Заметим, что условное распределение случайной величины
ν
(
m
)
при
заданном значении параметра
θ
есть отрицательное биномиальное рас-
пределение с параметрами
θ
и
m
:
P
(
ν
(
m
) =
k
|
θ
) =
θ
m
(1
−
θ
)
k
m
(
m
+ 1)
. . .
(
m
+
k
−
1)
k
!
.
Безусловное распределение случайной величины
ν
(
m
)
имеет вид
P
(
ν
(
m
) =
k
) =
m
(
m
+ 1)
. . .
(
m
+
k
−
1)
k
!
B
(
α
+
m, β
+
k
)
B
(
α, β
)
=
C
k
m
+
k
−
1
B
(
α
+
m, β
+
k
)
B
(
α, β
)
.
(6)
Условная плотность параметра
θ
при условии
{
ν
(
m
) =
k
}
является
плотностью бета-распределения с параметрами
α
+
m
и
β
+
k
:
g
θ
(
t, α, β
|
ν
(
m
) =
k
) =
t
α
+
m
−
1
(1
−
t
)
β
+
k
−
1
B
(
α
+
m, β
+
k
)
.
Отсюда для апостериорного среднего получаем
E
(
ν
|
ν
(
m
) =
k
) =
β
+
k
α
|
m
−
1
.
Страховая премия, выраженная в процентах к базовой премии, вы-
числяется по формуле
P
0
(
m, k
) = 100
(
α
−
1)(
β
+
k
)
(
α
−
1 +
m
)
β
.
Оценки параметров модели, полученные с помощью метода мо-
ментов, имеют вид
ˆ
α
=
2
s
2
s
2
−
ˉ
ν
(ˉ
ν
+ 1)
,
ˆ
β
= ˉ
ν
∙
s
2
+ ˉ
ν
(ˉ
ν
+ 1)
s
2
−
ˉ
ν
(ˉ
ν
+ 1)
.
Модели для ожидаемых страховых выплат.
Пусть
Y
— случай-
ная величина, равная страховой выплате при наступлении страхового
случая для случайно выбранного договора.
В соответствии с принципом рандомизации мы предполагаем, что
каждый договор характеризуется своим значением параметра
θ
(неиз-
вестным страховщику).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
85
