Опуская вычисления, выпишем условную плотность распределе-
ния параметра
θ
при условии
A
(
m, k, X
)
(см. формулу (1)):
f
Y
(
x, r, a, b
|
A
(
m, k, X
) ) =
1
B r,
˜
b
∙
x
r
−
1
(
x
+ ˜
a
)
r
+˜
b
,
где
e
a
=
a
+
k
X
j
=1
x
j
,
e
b
=
b
+
kr
.
Таким образом, мы видим, что условное распределение
Y
при
условии
A
(
m, k, X
)
получается из безусловного распределения заме-
ной параметров
a
и
b
на
˜
a
и
˜
b
, т.е.
f
Y
(
x, r, a, b
|
A
(
m, k, X
) ) =
f
Y
x, r, a
+
k
X
j
=1
x
l
, b
+
kr
!
.
Следовательно, для апостериорного среднего имеем
E
(
Y
|
A
(
m, k, X
) ) =
r
a
+
k
X
j
=1
x
j
b
+
kr
−
1
=
r
a
+
k
ˉ
x
b
+
kr
−
1
.
Таким образом, поправочный коэффициент для страховой премии,
учитывающий величину страховых выплат по данному договору, вы-
числяется по формуле
k
s
=
(
b
−
1)(
a
+
k
ˉ
x
)
a
(
b
−
1 +
kr
)
.
Оценки параметров для модели гамма-гамма с использованием ме-
тода моментов имеют вид
ˆ
a
=
2
μ
1
−
μ
2
μ
3
−
μ
1
μ
2
2
2
μ
2
1
−
μ
2
1
μ
2
−
μ
1
μ
3
,
ˆ
b
=
4
μ
2
2
−
μ
2
1
μ
2
−
3
μ
1
μ
3
2
μ
2
1
−
μ
2
1
μ
2
−
μ
1
μ
3
,
ˆ
r
=
2
μ
1
(
μ
2
2
−
μ
1
μ
3
)
2
μ
2
1
−
μ
2
1
μ
2
−
μ
1
μ
3
,
где
μ
i
— выборочный момент
i
-го порядка, рассчитанный по сово-
купности всех страховых выплат за предыдущий период страхования
(
i
= 1
,
2
,
3)
.
В частном случае для гамма-экспоненциальной модели (распреде-
ление Парето) получаем
E
(
Y
) =
a
b
−
1
, E
(
Y
|
A
(
m, k, X
)) =
a
+
k
X
j
=1
x
j
b
−
1 +
k
=
a
+
k
ˉ
x
b
−
1 +
k
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
87
