При заданном значении параметра
θ
случайная величина
Y
имеет
гамма-распределение с плотностью
f
Y
(
x, r
|
θ
) =
x
r
−
1
θ
r
e
−
θx
Γ
(
r
)
, x >
0
, r >
0
, θ >
0
.
Относительно параметра
θ
предполагаем, что он является случай-
ным с плотностью
g
θ
(
t, a, b
) =
t
b
−
1
a
b
e
−
at
Γ
(
b
)
, t >
0
, a >
0
, b >
0
.
Параметр
r
является общим для всей совокупности страховых до-
говоров. Таким образом, для описания страховых выплат мы восполь-
зуемся моделью, которую можно было бы назвать
гамма-гамма
моде-
лью.
Найдем плотность случайной величины
Y
для случайно выбран-
ного договора.
f
Y
(
x, r, a, b
) =
=
∞
Z
0
f
Y
(
x, r
|
t
)
g
θ
(
t, a, b
)
dt
=
∞
Z
0
x
r
−
1
t
r
+
b
−
1
a
b
e
−
(
x
+
a
)
t
Г
(
r
)
Г
(
b
)
dt
=
=
x
r
−
1
a
b
Γ
(
r
+
b
)
Γ
(
r
)
Γ
(
b
) (
x
+
a
)
r
+
b
=
a
b
B
(
r, b
)
∙
x
r
−
1
(
x
+
a
)
r
+
b
.
Отметим один важный частный случай. При
r
= 1
мы имеем дело с
гамма-экспоненциальной моделью. В этом случае
f
Y
(
x, a, b
) =
ba
b
(
x
+
a
)
b
+1
=
b
a
a
x
+
a
b
+1
является плотностью хорошо известного распределения Парето с па-
раметрами
b
и
a
. Оптимальная СБМ, в которой для расчета ожидаемых
страховых выплат использовано распределение Парето, рассмотрена в
работе [5].
Среднее значение страховых выплат по страховому портфелю
определяется формулой
E
(
Y
) =
∞
Z
0
a
b
x
r
B
(
r, b
) (
x
+
a
)
r
+
b
dx
=
aB
(
r
+ 1
, b
−
1)
B
(
r, b
)
=
r
a
b
−
1
.
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
