Среднее число страховых случаев для случайно выбранного дого-
вора равно
E
(
ν
) =
n
X
k
=0
kP
(
k, α, β, n
) =
n
B
(
α
+ 1
, β
)
B
(
α, β
)
=
nα
α
+
β
.
Опуская вычисления, отметим, что случайная величина
ν
(
m
)
при
заданном значении параметра
θ
имеет биномиальное распределение с
параметрами
θ
и
nm
, а по всему портфелю
P
(
ν
(
m
) =
k
) =
C
k
mn
B
(
α
+
k, β
+
mn
−
k
)
B
(
α, β
)
=
P
(
k, α, β, mn
)
.
Условная плотность распределения параметра
θ
при условии
{
ν
(
m
) =
k
}
имеет вид
g
θ
(
t
|
ν
(
m
) =
k
) =
t
α
+
k
−
1
(1
−
t
)
β
+
mn
−
k
−
1
B
(
α
+
k, β
+
mn
−
k
)
.
Таким образом, условное распределение параметра
θ
при условии
{
ν
(
m
) =
k
}
является бета-распределением с параметрами
α
+
k
и
β
+
nm
−
k
. Для апостериорного среднего получаем
E
(
ν
|
ν
(
m
) =
k
) =
n
(
α
+
k
)
α
+
β
+
mn
.
Страховая премия, выраженная в процентах к базовой премии, вычи-
сляется по формуле
P
0
(
m, k
) = 100
(
α
+
k
)(
α
+
β
)
α
(
α
+
β
+
mn
)
.
В заключение выпишем оценки параметров, полученные по методу
моментов:
ˆ
α
=
ˉ
νs
2
−
n
ˉ
ν
2
+ ˉ
ν
3
n
(ˉ
ν
−
s
2
)
−
ˉ
ν
2
,
ˆ
β
=
(
n
−
ˉ
ν
) (
s
2
−
n
ˉ
ν
+ ˉ
ν
2
)
n
(ˉ
ν
−
s
2
)
−
ˉ
ν
2
,
где
ˉ
ν
и
s
2
— выборочные среднее и дисперсия числа страховых случаев.
в
)
бета-геометрическая модель.
Пусть условное распределение
числа страховых случаев при заданном значении параметра
θ
явля-
ется геометрическим распределением с параметрами
θ
, т.е.
p
(
k
|
θ
) =
θ
(1
−
θ
)
k
, θ
2
(0
,
1)
, k
= 0
,
1
,
2
, . . . .
Относительно параметра
θ
предполагаем, что он является случай-
ным с плотностью бета-распределения (5). Для случайно выбранного
договора число страховых случаев
ν
имеет следующее распределение:
P
(
k, α, β
) =
P
(
ν
=
k
) =
B
(
α
+ 1
, β
+
k
)
B
(
α, β
)
.
84
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
