Функция
Q
1
(
z
1
)
удовлетворяет условиям (26):
lim
z
1
→
+
∞
z
3
1
= +
∞
,
lim
z
1
→−∞
z
3
1
=
−∞
,
функция
Q
2
(
z
)
положительна и ограничена в
R
2
– константы
N
1
и
N
2
из условия (27) равны
1
, функция
Q
3
(
z
)
ограничена:
8
z
2
R
2
−
1
6
cos
z
2
6
1
,
поэтому для нее выполнены условия (28) и (29) — достаточно для
любого
p
взять
L
1
=
−
1
,
L
2
= 1
.
Таким образом, система (45) удовлетворяет условиям
теоремы 2
,
и, следовательно, управляема в
R
3
за любой интервал времени
[0
, t
k
]
.
Далее будем полагать, что функции
f
(
z, η
)
,
g
(
z, η
)
имеют следую-
щий вид:
f
(
z, η
) =
z
1
z
2
, g
(
z, η
) = 4 +
η
2
.
Найдем управление
u
(
t
)
, переводящее систему (45) с функциями
f
(
z, η
)
,
g
(
z, η
)
,
R
(
η
)
указанного вида из начального состояния
(0
,
0
,
0)
т
в конечное состояние
(5
,
5
,
−
5)
т
за интервал времени
[0
,
5]
.
Функция
b
(
t
)
, удовлетворяющая на отрезке
[0
,
5]
граничным усло-
виям по
z
, имеет вид
b
(
t
) =
3
25
t
3
−
2
5
t
2
.
В соответствии с формулой (20) при
n
= 3
,
t
k
= 5
d
(
t
) =
t
2
(5
−
t
)
2
.
Уравнение (30) принимает вид
−
140
3
=
5
Z
0
[(
b
(
t
) +
c d
(
t
))
3
+ cos( ˙
b
(
t
) +
c
˙
d
(
t
))]
dt.
Приближенное значение корня этого уравнения, полученное методом
деления отрезка пополам, равно
c
=
−
0
,
0786
. Следовательно, функ-
ция
B
(
t
)
из
теоремы 1
определяется выражением
B
(
t
) =
b
(
t
) +
c d
(
t
) =
3
25
t
3
−
2
5
t
2
−
0
,
0786
t
2
(5
−
t
)
2
.
Траектории
z
1
(
t
)
,
z
2
(
t
)
, удовлетворяющие граничным условиям по
z
,
имеют вид
z
1
(
t
) =
B
(
t
)
,
z
2
(
t
) = ˙
B
(
t
)
.
Соответствующие графики приведены на рис. 3.
Траектория
η
(
t
)
находится как решение задачи Коши:
˙
η
=
B
3
(
t
) + cos ˙
B
(
t
)
η
2
+ 1
, η
(0) = 0
.
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
