Функция
v
(
c
)
в правой части уравнения (44) удовлетворяет усло-
вию (43), поэтому каким бы ни было значение интеграла в левой
части этого уравнения, всегда можно подобрать достаточно большое
по модулю отрицательное число
c
=
c
1
так, что
η
k
Z
η
0
dη
R
(
η
)
> v
(
c
1
)
,
и достаточно большое положительное число
c
=
c
2
так, что
η
k
Z
η
0
dη
R
(
η
)
< v
(
c
2
)
.
Чтобы найти приближенное решение уравнения (44), нужно приме-
нить к отрезку
[
c
1
, c
2
]
метод деления отрезка пополам. Этот метод
приведет к одному из корней уравнения (44).
Пример.
Рассмотрим систему третьего порядка
˙
z
1
=
z
2
˙
z
2
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u,
˙
η
= (
z
3
1
+ cos
z
2
)
R
(
η
)
,
(45)
где
g
(
z, η
)
6
= 0
в
R
3
,
R
(
η
)
6
= 0
в
R
. Покажем, что эта система на любом
открытом множестве в
R
3
не эквивалентна системе канонического
вида. Столбцы координат векторных полей
G
1
и
G
2
имеют вид
G
1
(
z, η
) =
z
2
f
(
z, η
)
(
z
3
1
+ cos
z
2
)
R
(
η
)
, G
2
(
z, η
) =
0
g
(
z, η
)
0
.
Для того чтобы на некотором множестве в
R
3
система (45) была экви-
валентна системе канонического вида, необходимо и достаточно, что-
бы существовала функция
φ
=
φ
(
z, η
)
, являющаяся решением системы
уравнений в частных производных
G
2
φ
(
z, η
) = 0
,
[
G
1
, G
2
]
φ
(
z, η
) = 0
,
и такая, что соотношения
ζ
1
=
φ
(
z, η
)
, ζ
2
=
G
1
φ
(
z, η
)
, ζ
3
=
G
2
1
φ
(
z, η
)
задают на этом множестве невырожденную замену переменных.
Вычислим столбец координат векторного поля
[
G
1
, G
2
]
, опуская
для краткости записи аргументы у функций
f
(
z, η
)
,
g
(
z, η
)
и их про-
изводных:
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
