[
G
1
, G
2
] =
0 0 0
g
0
z
1
g
0
z
2
g
0
η
0 0 0
z
2
f
(
z
3
1
+ cos
z
2
)
R
(
η
)
−
−
0
1
0
f
0
z
1
f
0
z
2
f
0
η
3
z
2
1
R
(
η
)
−
R
(
η
) sin
z
2
(
z
3
1
+ cos
z
2
)
R
0
(
η
)
0
g
0
=
=
−
g
χ
(
z, η
)
gR
(
η
) sin
z
2
,
где
χ
(
z, η
) =
g
0
z
1
z
2
+
g
0
z
2
f
+
g
0
η
(
z
3
1
+ cos
z
2
)
R
(
η
)
−
f
0
z
2
g
.
Следовательно, функция
φ
(
z, η
)
должна быть решением системы
уравнений в частных производных
g
∂φ
∂z
2
= 0
,
−
g
∂φ
∂z
1
+
χ
(
z, η
)
∂φ
∂z
2
+
gR
(
η
) sin
z
2
∂φ
∂η
= 0
.
По предположению
g
(
z, η
)
6
= 0
в
R
, поэтому из первого уравнения
следует, что функция
φ
не зависит от переменной
z
2
. Тогда второе
уравнение принимает вид
−
∂φ
∂z
1
+
R
(
η
) sin
z
2
∂φ
∂η
= 0
.
Дифференцируя его по
z
2
, получаем, что на открытом множестве в
пространстве состояний системы должно выполняться равенство
R
(
η
) cos
z
2
∂φ
∂η
= 0
.
Это возможно лишь в случае, если функция
φ
не зависит от
η
. Тогда
из второго уравнения следует, что
∂φ
∂z
1
= 0
,
поэтому решениями системы уравнений в частных производных явля-
ются только функции
φ
=
const. Если функция
φ
постоянна, то со-
ответствующие соотношения не задают невырожденную замену пере-
менных.
Пусть
R
(
η
) = 1
/
(
η
2
+1)
. Покажем, что для системы (45) выполнены
условия
теоремы 2
. Функция
Q
(
z
)
имеет вид (25), причем
Q
1
(
z
1
) =
z
3
1
,
Q
2
(
z
)
≡
1
,
Q
3
(
z
) = cos
z
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
27
