Рис. 2. Функция
v
(
c
)
в условиях теоремы 2
Функция
s
(
t, c
) =
Q
(
b
(
t
)+
c d
(
t
))
непрерывна на множестве
[0
, t
k
]
×
R
.
Согласно свойству интегралов, зависящих от параметра, функция
v
(
c
)
непрерывна на
R
. Кроме того, из доказанного следует, что
lim
c
→
+
∞
v
(
c
) = +
∞
,
lim
c
→−∞
v
(
c
) =
−∞
.
(43)
Примерный вид функции
v
(
c
)
, удовлетворяющей указанным условиям,
приведен на рис. 2.
C использованием введенных обозначений уравнение (30) примет
вид
η
k
Z
η
0
dη
R
(
η
)
=
v
(
c
)
.
(44)
Каковы бы ни были начальное и конечное состояния системы (22) с
функцией
Q
(
z
)
вида (25), из доказанных свойств функции
v
(
c
)
следу-
ет, что найдется значение
c
=
c
, удовлетворяющее этому уравнению.
Это означает, что при
c
=
c
существует решение граничной зада-
чи (23). Следовательно, функция
B
(
t
) =
b
(
t
) +
c d
(
t
)
удовлетворяет
условиям
теоремы 1
, и терминальная задача имеет решение для лю-
бого начального и конечного состояния системы (22). В соответствии
с определением системы, управляемой за данный интервал времени на
множестве
O
, заключаем, что система (22) с функцией
Q
(
z
)
вида (25)
управляема в
R
n
за любой интервал
[0
, t
k
]
.
Заметим, что доказательство
теоремы 2
дает способ нахождения
решения уравнения (44). Пусть зафиксированы начальное
(
z
10
, . . .
. . . , z
n
−
1
,
0
, η
0
)
т
и конечное
(
z
1
k
, . . . , z
n
−
1
,k
, η
k
)
т
состояния системы (22).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
25
