МАТЕМАТИКА
УДК 519.218.27
А. В. К а л и н к и н, А. В. М а с т и х и н
МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС ЭПИДЕМИИ ВЕЙСА
И ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
Предложенный в работе [17] метод построения замкнутого реше-
ния уравнений Колмогорова для экспоненциальной
(
двойной
)
произ-
водящей функции переходных вероятностей применен к двумерно-
му марковскому процессу гибели специального вида. Получено ин-
тегральное представление для производящей функции переходных
вероятностей, использующее специальные функции. Приведены вы-
ражения для математического ожидания и дисперсии случайного
процесса, и установлена предельная теорема.
Определение марковского процесса эпидемии.
На множестве со-
стояний
N
2
=
{
(
α
1
, α
2
)
, α
1
, α
2
= 0
,
1
, . . .
}
рассматривается однород-
ный во времени марковский процесс
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
,
t
2
[0
,
∞
)
, с
переходными вероятностями
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
) = P
{
ξ
(
t
) = (
β
1
, β
2
)
|
ξ
(0) =
= (
α
1
, α
2
)
}
. Пусть при
t
→
0+
переходные вероятности имеют вид
(
μ
≥
0
)
P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
,α
2
−
1)
(
t
) =
p
1
α
1
α
2
t
+
o
(
t
)
, P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
+1
,α
2
−
1)
(
t
) =
p
2
α
1
α
2
t
+
o
(
t
)
,
P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
−
1
,α
2
)
(
t
) =
μα
1
t
+
o
(
t
)
, P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
,α
2
)
(
t
) = 1
−
(
α
1
α
2
+
μα
1
)
t
+
o
(
t
)
.
(1)
Здесь
p
1
≥
0
,
p
2
≥
0
,
p
1
+
p
2
= 1
. Введем производящие функции
(
|
s
1
| ≤
1
,
|
s
2
| ≤
1
)
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
) =
∞
X
β
1
,β
2
=0
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
)
s
β
1
1
s
β
2
2
,
(
α
1
, α
2
)
2
N
2
.
(2)
Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмого-
рова для переходных вероятностей в случае процесса
ξ
(
t
)
равносильна
уравнению в частных производных [2, 15]:
∂F
(
α
1
,α
2
)
∂t
= (
p
2
s
2
1
+
p
1
s
1
−
s
1
s
2
)
∂
2
F
(
α
1
,α
2
)
∂s
1
∂s
2
+
μ
(1
−
s
1
)
∂F
(
α
1
,α
2
)
∂s
1
,
(3)
с начальным условием
F
(
α
1
,α
2
)
(0;
s
1
, s
2
) =
s
α
1
1
s
α
2
2
.
Событие
{
ξ
(
t
) = (
α
1
, α
2
)
}
интерпретируется как наличие сово-
купности из
α
1
частиц типа
T
1
и
α
2
частиц типа
T
2
. Следующее
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
3
