Замечание 1.
Преобразуем ряд (14) к виду
F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
=
∞
X
α
2
=0
z
α
2
2
α
2
!
e
z
1
μ/
(
α
2
+
μ
)+
z
2
(
s
2
−
1)
α
2
∞
X
α
1
=0
z
α
1
1
α
1
!
s
1
−
μ
α
2
+
μ
α
1
e
−
(
α
2
+
μ
)
t α
1
=
=
∞
X
α
2
=0
z
α
2
2
(
s
2
−
1)
α
2
α
2
!
∞
X
n
=0
z
n
2
n
!
e
z
1
[
μ/
(
α
2
+
μ
)+(
s
1
−
μ/
(
α
2
+
μ
))
e
−
(
α
2 +
μ
)
t
]
=
=
∞
X
α
2
=0
z
α
2
2
α
2
X
k
=0
(
s
2
−
1)
k
k
!(
α
2
−
k
)!
∞
X
α
1
=0
z
α
1
1
α
1
!
s
1
e
−
(
k
+
μ
)
t
+
μ
k
+
μ
1
−
e
−
(
k
+
μ
)
t
α
1
.
(19)
Из определения экспоненциальной производящей функции (6) и
разложения (19), приравнивая коэффициенты при степенях
z
α
1
1
z
α
2
2
, по-
лучаем известное представление [5, 10]:
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
) =
=
α
2
X
k
=0
C
k
α
2
s
1
e
−
(
k
+
μ
)
t
+
μ
k
+
μ
1
−
e
−
(
k
+
μ
)
t
α
1
(
s
2
−
1)
k
.
(20)
А.М. Зубков предложил вероятностный вывод формулы (20), осно-
ванный на свойствах траекторий марковского процесса эпидемии Вей-
са (2001 г., устное сообщение).
Некоторые следствия.
Интегральная формула (10) для произво-
дящей функции переходных вероятностей
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
)
простым
образом содержит начальные условия
α
1
,
α
2
и переменные
s
1
,
s
2
, что
определяет стандартные пути вывода следствий. Числовые характери-
стики марковского процесса
(
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
находятся по формулам ([14],
гл. 4, § 1):
A
i
(
t
) = M
ξ
i
(
t
) =
∂F
(
α
1
,α
2
)
∂s
i
s
1
=1
,s
2
=1
,
B
i
(
t
) = M
ξ
i
(
t
)(
ξ
i
(
t
)
−
1) =
∂
2
F
(
α
1
,α
2
)
∂s
2
i
s
1
=1
,s
2
=1
,
D
i
(
t
) = D
ξ
i
(
t
) =
B
i
(
t
) +
A
i
(
t
)
−
A
2
i
(
t
)
, i
= 1
,
2
.
Следствие 1.
Для процесса эпидемии Вейса средние и дисперсии
равны
:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
11
