простые ряды для решения уравнения (3) дал С. Сакино [9]. Все эти
явные выражения для
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
)
имеют необозримо громоздкий
вид; например решение, найденное в работе [7], занимает две страни-
цы журнального текста. Такие формулы малопригодны, в частности,
для вывода асимптотических следствий о поведении марковского про-
цесса
ξ
(
t
)
.
А. Баруча-Рид [3] и Н. Бейли [4] ставят задачу сведения выражений
для производящей функции переходных вероятностей к виду, содер-
жащему известные функции. В работе [4] обсуждается необходимость
вывода замкнутых решений для уравнений эпидемии.
В настоящей работе построение решения для уравнения (3) осно-
вано на положениях теории ветвящихся случайных процессов с неза-
висимыми частицами [14].
Нелинейное свойство ветвящихся процессов и процесс эпиде-
мии.
Простейшим ветвящимся процессом является марковский про-
цесс на множестве состояний
N
2
такой, что при
t
→
0+
переходные
вероятности имеют вид (
μ
1
≥
0
,
μ
2
≥
0
)
P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
−
1
,α
2
)
(
t
) =
μ
1
α
1
t
+
o
(
t
)
, P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
,α
2
−
1)
(
t
) =
μ
2
α
2
t
+
o
(
t
)
,
P
(
α
1
,α
2
)
(
α
1
,α
2
)
(
t
) = 1
−
(
μ
1
α
1
+
μ
2
α
2
)
t
+
o
(
t
)
.
Производящая функция переходных вероятностей (2) удовлетворяет
уравнению в частных производных (см. [14], гл. 4, § 3, уравнение (12)):
∂F
(
α
1
,α
2
)
∂t
=
μ
1
(1
−
s
1
)
∂F
(
α
1
,α
2
)
∂s
1
+
μ
2
(1
−
s
2
)
∂F
(
α
1
,α
2
)
∂s
2
,
(4)
с начальным условием
F
(
α
1
,α
2
)
(0;
s
1
, s
2
) =
s
α
1
1
s
α
2
2
.
Состояние
(
α
1
, α
2
)
интерпретируется как наличие совокупности из
α
1
частиц типа
T
1
и
α
2
частиц типа
T
2
. Через случайное время
τ
1
(
α
1
,α
2
)
,
P
{
τ
1
(
α
1
,α
2
)
≤
t
}
= 1
−
e
−
μ
1
α
1
t
, одна из частиц типа
T
1
гибнет — процесс
переходит в состояние, соответствующее вектору
(
α
1
−
1
, α
2
)
. Кроме
того, через случайное время
τ
2
(
α
1
,α
2
)
,
P
{
τ
1
(
α
1
,α
2
)
≤
t
}
= 1
−
e
−
μ
2
α
2
t
,
гибнет частица типа
T
2
— процесс переходит в состояние, соответ-
ствующее вектору
(
α
1
, α
2
−
1)
. Случайные величины
τ
1
(
α
1
,α
2
)
,
τ
2
(
α
1
,α
2
)
независимы; в состоянии
(
α
1
, α
2
)
процесс находится случайное вре-
мя
τ
(
α
1
,α
2
)
= min(
τ
1
(
α
1
,α
2
)
, τ
2
(
α
1
,α
2
)
)
. Пример реализации такого процесса
гибели изображен на рисунке,
б
.
Решение уравнения первого порядка (4) находится стандартными
методами и имеет вид
свойства ветвления
([14], гл. 4, § 2, форму-
ла (3)):
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
) = (1
−
e
−
μ
1
t
+
s
1
e
−
μ
1
t
)
α
1
(1
−
e
−
μ
2
t
+
s
2
e
−
μ
2
t
)
α
2
.
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
5
