Скачки марковских процессов гибе-
ли на
N
2
описание принято в вероятност-
ных моделях распространения
эпидемии [2–4]. Частицы типа
T
1
интерпретируются как боль-
ные особи, частицы типа
T
2
как здоровые особи, восприим-
чивые к инфекционному забо-
леванию. Можно полагать, что
через случайное время
τ
2
(
α
1
,α
2
)
,
P
{
τ
2
(
α
1
,α
2
)
≤
t
}
= 1
−
e
−
α
1
α
2
t
,
происходит контакт частицы ти-
па
T
1
с частицей типа
T
2
. Эта
пара частиц с вероятностью
p
1
заменяется частицей типа
T
1
(за-
болевшая особь удаляется из популяции) — процесс переходит в
состояние, соответствующее вектору
(
α
1
, α
2
−
1)
, или с вероятно-
стью
p
2
заменяется двумя частицами типа
T
1
(заболевшая особь не
удаляется из популяции) — процесс переходит в состояние, соот-
ветствующее вектору
(
α
1
+ 1
, α
2
−
1)
. Кроме того, через случайное
время
τ
1
(
α
1
,α
2
)
,
P
{
τ
1
(
α
1
,α
2
)
≤
t
}
= 1
−
e
−
μα
1
t
, одна из частиц типа
T
1
гибнет — процесс переходит в состояние, соответствующее вектору
(
α
1
−
1
, α
2
)
. Предполагается, что случайные величины
τ
1
(
α
1
,α
2
)
,
τ
2
(
α
1
,α
2
)
независимы; в состоянии
(
α
1
, α
2
)
процесс находится случайное время
τ
(
α
1
,α
2
)
= min(
τ
1
(
α
1
,α
2
)
, τ
2
(
α
1
,α
2
)
)
. Пример реализации процесса изобра-
жен на рисунке,
а
.
Задача решения уравнения (3).
Марковский процесс
ξ
(
t
)
в слу-
чае
p
1
= 1
называется моделью эпидемии Вейса [6], [12], а в случае
p
2
= 1
называется моделью эпидемии Бартлетта–Мак-Кендрика [1],
[2]. Процесс
ξ
(
t
)
принадлежит специальному классу марковских про-
цессов, определенному Б.А. Севастьяновым [15]; в работе [16] описан
наиболее общий процесс с двумя типами частиц
T
1
,
T
2
и двумя ком-
плексами взаимодействия
ε
1
= (1
,
1)
,
ε
2
= (1
,
0)
— уравнение такого
процесса обобщает уравнение (3). Обзор задач для вероятностных мо-
делей процессов эпидемии содержится в статье А.Н. Старцева [12].
Имеется обширная литература по точным решениям уравнений
различных марковских процессов эпидемии и способам их вывода
(см. [4], [5], обзор [10], [11], [18] и др.). Для уравнения (3) в случае
p
1
= 1
выражение для
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
)
известно (см. далее замеча-
ние 1). В случае
p
2
= 1
Дж. Гани [7] получил решение уравнения
(3) методом преобразования Лапласа и выписал формулы для пере-
ходных вероятностей. В. Сискинд [8] получил те же формулы, решив
(3) способом прямого рекурсивного интегрирования. Несколько более
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
