=
α
2
μ
μ
+ 1
+
1
μ
+ 1
e
−
(
μ
+1)
t
α
1
.
(22)
Для
A
1
(
t
)
,
B
1
(
t
)
,
B
2
(
t
)
вычисления аналогичны. Следствие 1 доказано.
Замечание 2.
Для процессов распостранения эпидемии рассма-
триваются также детерминированные модели; взаимосвязь вероят-
ностного и детерминистического описаний для различных эпидемий
обсуждается в работах [2–4, 19] и др. Процессу эпидемии Вейса
(
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
соответствует аналог в виде системы дифференциальных
уравнений (см. [6], уравнения (2)):
˙
x
1
=
−
μx
1
; ˙
x
2
=
−
x
1
x
2
,
(23)
где
x
1
(
t
)
— количество больных особей,
x
2
(
t
)
— количество особей,
восприимчивых к инфекционному заболеванию. Решение уравнений
(22) при начальных условиях
x
1
(0) =
x
0
1
,
x
2
(0) =
x
0
2
имеет вид
x
1
(
t
) =
x
0
1
e
−
μt
;
x
2
(
t
) =
x
0
2
e
−
(1
−
e
−
μt
)
/μ x
0
1
.
(24)
Вывод детерминированной модели (22), исходя из уравнения (3)
дан в работе [19]. Такой переход основывается на предположении [2–
4], что средние величины процесса
A
i
(
t
)
совпадают с
х
i
(
t
)
,
i
= 1
,
2
,
при предельном переходе для начального состояния
α
= (
nα
1
, nα
2
)
,
n
→ ∞
. Однако сравнение формул (21) и (23) показывает, что среднее
A
1
(
t
)
совпадает с
х
1
(
t
)
, а среднее
A
2
(
t
)
отлично от
х
2
(
t
)
, следователь-
но из вероятностной модели не может быть получена детерминиро-
ванная модель указанным предельным переходом к большому числу
частиц. В то же время лежащие в основании степени функции
(
μ
+
+
e
−
(
μ
+1)
t
)
/
(
μ
+ 1)
в формуле (21) и
e
−
(1
−
e
−
μt
)
/μ
в уравнениях (23)
являются близкими; в частности, их отношение стремится к
1
при
μ
→
0
или
μ
→ ∞
.
Для марковского процесса
ξ
(
t
)
состояния
{
(0
, γ
2
)
, γ
2
= 0
,
1
,
2
, . . .
}
являются поглощающими, для финальных вероятностей
q
(
α
1
,α
2
)
(0
,γ
2
)
=
= lim
t
→∞
P
(
α
1
,α
2
)
(0
,γ
2
)
(
t
)
имеем производящую функцию:
Φ
(
α
1
,α
2
)
(
s
2
) =
∞
X
γ
2
=0
q
(
α
1
,α
2
)
(0
,γ
2
)
s
γ
2
2
= lim
t
→∞
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
)
.
Вычисление предела, исходя из уравнения (10), приводит к интеграль-
ному выражению, полученному в работе [16] прямым решением ста-
ционарного первого уравнения Колмогорова.
Следствие 2.
Производящая функция финальных вероятностей
имеет вид
(
μ >
0
, α
1
= 1
,
2
, . . .
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
13
