б)
интегральное представление.
Используем следующее предста-
вление экспоненты ([13], часть 2, формула (3.5), и часть 1, гл. 2, § 12):
e
−
α
1
α
2
t
=
∞
Z
0
∞
Z
0
e
−
α
1
tx
−
α
2
y
H
(
x, y
)
dxdy,
где функция
H
(
x, y
)
определена формулой (9). Из выражения (14)
получаем (изменение порядка интегрирования и суммирования допу-
стимо, так как интеграл сходится абсолютно)
F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
∞
X
α
1
,α
2
=0
z
α
1
1
z
α
2
2
α
1
!
α
2
!
e
z
1
μ/
(
α
2
+
μ
)+
z
2
×
×
s
1
−
μ
α
2
+
μ
α
1
(
s
2
−
1)
α
2
e
−
μα
1
t
∞
Z
0
∞
Z
0
e
−
α
1
tx
−
α
2
y
H
(
x, y
)
dxdy
=
∞
Z
0
∞
Z
0
e
z
2
∞
X
α
2
=0
z
α
2
2
α
2
!
e
z
1
μ/
(
α
2
+
μ
)
[(
s
2
−
1)
e
−
y
]
α
2
×
×
∞
X
α
1
=0
z
α
1
1
α
1
!
h
s
1
−
μ
α
2
+
μ
e
−
(
x
+
μ
)
t
i
α
1
H
(
x, y
)
dxdy
=
=
∞
Z
0
∞
Z
0
e
z
1
s
1
e
−
(
x
+
μ
)
t
+
z
2
∞
X
α
2
=0
[
z
2
(
s
2
−
1)
e
−
y
]
α
2
α
2
!
e
z
1
μ
(1
−
e
−
(
x
+
μ
)
t
)
/
(
α
2
+
μ
)
×
×
H
(
x, y
)
dxdy.
(15)
Для суммирования ряда в фигурных скобках воспользуемся фор-
мулой
∞
X
α
=0
b
α
α
!(
α
+
μ
)
k
=
1
(
k
−
1)!
∞
Z
0
v
k
−
1
e
−
μv
+
be
−
v
dv, k
= 1
,
2
, . . . ,
и модифицированной функцией Бесселя
I
1
(
z
) =
∞
X
k
=0
(
z/
2)
2
k
+1
k
!(
k
+ 1)!
(делаем замену
a
=
z
1
μ
(1
−
e
−
(
x
+
μ
)
t
)
,
b
=
z
2
(
s
2
−
1)
e
−
y
):
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
9
