где
J
0
(
z
)
— функция Бесселя порядка нуль,
0
F
2
(1
,
1;
z
)
— обобщенная
гипергеометрическая функция,
J
0
(
z
) =
∞
X
k
=0
(
−
1)
k
(
z/
2)
2
k
k
!
k
!
,
0
F
2
(1
,
1;
z
) =
∞
X
k
=0
z
k
(
k
!)
3
.
Теорема 1.
Пусть марковский процесс
ξ
(
t
)
на множестве состо-
яний
N
2
задан соотношениями
(1)
и
p
1
= 1
. Производящая функция
переходных вероятностей имеет вид
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
) =
∞
Z
0
∞
Z
0
(
s
1
e
−
(
x
+
μ
)
t
)
α
1
(1
−
e
−
y
+
s
2
e
−
y
)
α
2
+
+
∞
Z
0
1
2
πi
I
0+
ϕ
α
1
1
(
t
;
x, u
;
s
1
)
ϕ
α
2
2
(
y, v
;
s
2
)
e
(
u
−
μ
)
v
du dv H
(
x, y
)
dxdy,
(10)
где линейные по переменным
s
1
,
s
2
функции
ϕ
1
(
t
;
x, u
;
s
1
)
,
ϕ
2
(
y, v
;
s
2
)
определены формулами
ϕ
1
(
t
;
x, u
;
s
1
) =
μ
(1
−
e
−
(
x
+
μ
)
t
)
/u
+
s
1
e
−
(
x
+
μ
)
t
,
ϕ
2
(
y, v
;
s
2
) = 1
−
e
−
y
−
v
+
s
2
e
−
y
−
v
.
Доказательство.
Применим к линейным уравнениям в частных
производных второго порядка (7), (8) метод Фурье:
а)
метод разделения переменных
. Решение ищем в форме ряда
F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
∞
X
α
1
,α
2
=0
A
α
1
α
2
e
C
α
1
α
2
(
z
1
, z
2
)
C
α
1
α
2
(
s
1
, s
2
)
e
−
λ
α
1
α
2
t
.
(11)
Подставив ряд (11) в уравнения (7) и (8), получаем уравнения для
функций
e
C
α
1
α
2
(
z
1
, z
2
)
и
C
α
1
α
2
(
s
1
, s
2
)
:
z
1
z
2
∂
e
C
α
1
α
2
∂z
1
−
∂
2
e
C
α
1
α
2
∂z
1
∂z
2
+
+
μz
1
e
C
α
1
α
2
−
∂
e
C
α
1
α
2
∂z
1
+
λ
α
1
α
2
e
C
α
1
α
2
= 0;
(12)
(
s
1
−
s
1
s
2
)
∂
2
C
α
1
α
2
∂s
1
∂s
2
+
μ
(1
−
s
1
)
∂C
α
1
α
2
∂s
1
+
λ
α
1
α
2
C
α
1
α
2
= 0;
(13)
α
1
, α
2
= 0
,
1
, . . . .
Из условий на скачки процесса
ξ
(
t
)
следует,
что для уравнения (13) имеет место краевое условие “
C
α
1
α
2
(
s
1
, s
2
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
7
