Теоремой 1 настоящей работы установлено, что в случае марков-
ского процесса эпидемии Вейса решение уравнения в частных про-
изводных второго порядка (3) имеет вид, обобщающий формулу (5).
Для построения такого представления для
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
)
применя-
ется метод, предложенный в работе [17]. Рассматриваются одновре-
менно первое и второе уравнения Колмогорова для экспоненциальной
(двойной) производящей функции переходных вероятностей и нахо-
дится решение этих уравнений в виде ряда с тремя разделенными
переменными. Затем строится интегральное представление решения,
при этом подынтегральное выражение содержит специальные функ-
ции. Дальнейшие преобразования приводят замкнутое решение к виду,
аналогичному нелинейному свойству (5).
В теореме 1 решение уравнения (3) дано при
p
1
= 1
, но изложен-
ный метод применим при труднопреодолимой технике вычислений к
построению замкнутого решения при
p
1
<
1
.
Отдельной задачей [20] является нахождение интегрального пред-
ставления решения уравнения (3) при
μ
= 0
в виде, обобщающем
формулу (5).
Замкнутое решение уравнений Колмогорова.
Ограничимся рас-
смотрением процесса
ξ
(
t
)
в случае
p
1
= 1
. Введем экспоненциальную
производящую функцию
F
(
t
;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
)
∞
X
α
1
,α
2
=0
z
α
1
1
z
α
2
2
α
1
!
α
2
!
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
) =
=
∞
X
α
1
,α
2
,β
1
,β
2
=0
z
α
1
1
z
α
2
2
α
1
!
α
2
!
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
)
s
β
1
1
s
β
2
2
.
(6)
Первая и вторая системы дифференциальных уравнений Колмогорова
для переходных вероятностей
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
)
записываются в виде уравне-
ний в частных производных [16, 17]:
∂
F
∂t
=
z
1
z
2
∂
F
∂z
1
−
∂
2
F
∂z
1
∂z
2
+
μz
1
F −
∂
F
∂z
1
,
(7)
∂
F
∂t
= (
s
1
−
s
1
s
2
)
∂
2
F
∂s
1
∂s
2
+
μ
(1
−
s
1
)
∂
F
∂s
1
,
(8)
с начальным условием
F
(0;
z
1
, z
2
;
s
1
, s
2
) =
e
z
1
s
1
+
z
2
s
2
.
Далее нам потребуется функция (
x >
0
,
y >
0
)
H
(
x, y
) =
∞
Z
0
∞
Z
0
J
0
(2
√
ux
)
J
0
(2
√
vy
)
0
F
2
(1
,
1;
−
uv
)
dudv,
(9)
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
