В частности,
F
1
(
t
;
x
) =
0
,
x < e
−
t
;
x
μ
, e
−
t
≤
x <
1;
1
,
x
≥
1
,
F
2
(
t
;
x
) =
0
,
x < e
−
2
t
;
x
μ
(1 +
μ
ln
x
+ 2
μt
)
, e
−
2
t
≤
x < e
−
t
;
x
μ
(1
−
μ
ln
x
)
,
e
−
t
≤
x <
1;
1
,
x
≥
1
.
Отметим, что вывод предельной теоремы (24) из представления
(20) является сложным, а вывод соотношения (24) из интегрально-
го представления решения (10) простой и сводится к использованию
второго замечательного предела.
Заключение.
Основным прикладным результатом работы является
предельная теорема (24) — утверждение типа “пороговой теоремы” [2,
12]. Так как в практических приложениях представляет интерес слу-
чай, когда при
t
= 0
число больных особей мал´о, а число здоровых
особей велико, то асимптотические свойства распределения компонен-
ты
ξ
2
(
t
)
случайного процесса рассматриваются при
α
2
→ ∞
. Теоремы
такого типа используются при определении пороговой численности
больных особей, при превышении которой принято говорить о начале
эпидемии [4, 5].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Э п и д е м и и процесс // В кн.: Математическая энциклопедия. Т. 5. – М.:
Советская энциклопедия, 1985. – Кол. 1008.
2. Б а р т л е т т М. С. Введение в теорию случайных процессов. – М.: ИЛ, 1958. –
384 с.
3. Б а р у ч а - Р и д А. Т. Элементы теории марковских процессов и их
приложения. – М.: Наука, 1969. – 512 с.
4. Б е й л и Н. Математика в биологии и медицине. – М.: Мир, 1970. – 328 с.
5. B a i l e y N. T. J. The mathematical theory of infections diseases and its
applications. – London: Griffin, 1975.
6. W e i s s G. On the spread of epidemics by carries // Biometrics. – 1965. – V. 21,
no. 2. – P. 481–490.
7. G a n i J. On a partial differential equation of epidemic theory. I // Biometrika. –
1965. – V. 52. – P. 617–622.
8. S i s k i n d V. The solution of a general stochastic epidemic // Biometrica. – 1965. –
V. 52, no. 3–4. – P. 613–616.
9. S a k i n o S. On the solition of the epidemic equations // Ann. Inst. Statist. Math. –
1968, Suppl. V. – P. 9–19.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
15
