МАТЕМАТИКА
УДК 517.938
А. Н. К а н а т н и к о в
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ КОМПАКТОВ
В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотрен функциональный метод локализации инвариантных
компактных множеств для дискретных динамических систем, с
помощью которого исследованы одномерная логистическая систе-
ма и двумерная система Катала. Построена компактная локализа-
ция положительно инвариантных компактных множеств этих си-
стем. Для обеих систем показано, что объединение отрицательно
инвариантных компактных множеств совпадает с фазовым про-
странством системы.
E-mail:
Ключевые слова
:
динамическая дискретная система, инвариантное мно-
жество, локализация инвариантных множеств.
Введение.
В качественной теории динамических систем ряд публи-
каций посвящен задачам локализации инвариантных компактов дина-
мических систем, под которой понимается построение множества в
фазовом пространстве динамической системы, содержащего все инва-
риантные компактные множества этой системы.
До недавнего времени эти исследования были направлены на не-
прерывные динамические системы, описываемые системой дифферен-
циальных уравнений
˙
x
=
f
(
x
)
,
x
2
R
n
. Весьма эффективным в таких
исследованиях оказался метод А.П. Крищенко [1], который уместно
называть функциональным. Локализирующее множество строится с
помощью некоторой функции, называемой локализирующей. Эффек-
тивность метода усиливается возможностью использовать семейства
локализирующих функций с последующим определением пересечения
построенного семейства локализирующих множеств.
Функциональный метод с успехом был применен для исследова-
ния целого ряда непрерывных динамических систем с хаотическим
поведением, включая общеизвестную систему Лоренца [2–4], ее обоб-
щения [5], ПРТ-систему [6], систему Ланфорда [7].
В работе [8] функциональный метод был распространен и на дис-
кретные динамические системы, в применении к которым функцио-
нальный метод во многом сохраняет свои черты. Однако имеются и не-
которые особенности. Во-первых, в дискретных системах эффективен
сдвиг локализирующих множеств вдоль орбит системы, который не
нашел своего применения в непрерывных системах. Во-вторых, непре-
рывные системы, описываемые нормальными системами дифференци-
альных уравнений, являются обратимыми, в то время как ряд дискрет-
ных систем, описываемых рекуррентным сотношением
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
3
