обратимыми не являются. Динамика необратимой системы при воз-
растании времени заметно отличается от ее динамики при убывании
времени.
В настоящей работе рассмотрены основные факты применения
функционального метода к дискретным системам, а также проведено
исследование двух необратимых дискретных систем. Первая — одно-
мерная логистическая система, хорошо известная и детально иссле-
дованная. Ее анализ функциональным методом — это, с одной сторо-
ны, альтернативный способ доказательства уже известных фактов, а
с другой — хороший тест для проверки работоспособности функци-
онального метода. Вторая — двумерная система Катала [10], которая
исследована недостаточно подробно, но известно, что при некоторых
значениях параметров система Катала имеет хаотическое поведение.
Функциональный метод локализации.
Следуя [8], изложим
основные положения функционального метода локализации приме-
нительно к дискретным динамическим системам.
Под дискретной системой будем понимать рекуррентное соотно-
шение
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
, определяемое некоторым непрерывным отобра-
жением
F
:
M
→
M
множества
M
R
n
в себя.
Скажем, что подмножество
K M
:
— положительно инвариантно, если
F
(
K
)
K
;
— отрицательно инвариантно, если
F
−
1
(
K
)
K
;
— инвариантно, если оно положительно и отрицательно инвари-
антно.
Для произвольной непрерывной функции
ϕ
, определенной на
M
,
рассмотрим множества
Σ
+
ϕ
=
{
x
2
M
:
ϕ
(
F
(
x
))
−
ϕ
(
x
)
≥
0
}
,
Σ
−
ϕ
=
{
x
2
M
:
ϕ
(
F
(
x
))
−
ϕ
(
x
)
≤
0
}
.
Положим
ϕ
r
inf
= inf
x
2
Σ
+
ϕ
ϕ
(
x
)
, ϕ
r
sup
= sup
x
2
Σ
−
ϕ
ϕ
(
x
);
ϕ
l
inf
= inf
x
2
ˆ
F
(Σ
−
ϕ
)
ϕ
(
x
)
, ϕ
l
sup
= sup
x
2
ˆ
F
(Σ
+
ϕ
)
ϕ
(
x
);
ϕ
inf
= inf
x
2
Σ
+
ϕ
∩
ˆ
F
(Σ
−
ϕ
)
ϕ
(
x
)
, ϕ
sup
= sup
x
2
Σ
−
ϕ
∩
ˆ
F
(Σ
+
ϕ
)
ϕ
(
x
)
,
где
ˆ
F
(
A
) =
M
\
F
(
M
\
A
)
.
Теорема 1.
Для системы
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
, заданной на множестве
M
, и любого компактного множества
K M
:
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
