— если
K
отрицательно инвариантно, то оно содержится в мно-
жестве
Ω
l
ϕ
(
Q
) =
{
x
2
Q
:
ϕ
l
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
l
sup
(
Q
)
}
;
— если
K
инвариантно
,
то оно содержится в множестве
Ω
ϕ
(
Q
) =
{
x
2
Q
:
ϕ
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
sup
(
Q
)
}
.
Эта теорема позволяет в целях локализации использовать следу-
ющую итерационную процедуру уточнения положения инвариантных
компактов динамической системы. Пусть задана последовательность
ϕ
i
2
C
(
M
)
непрерывных на
M
функций. Для произвольного множе-
ства
Q M
положим
Ω
r
0
=
Q
,
Ω
r
i
= Ω
ϕ
i
(Ω
i
−
1
)
,
i
= 1
,
2
, . . .
Тогда
Ω
r
0
Ω
r
1
Ω
r
2
. . .
Ω
r
i
. . .
и каждое множество
Ω
r
i
содержит все положительно инвариантные
компакты дискретной системы, включенные в
Q
. Аналогичная проце-
дура имеет место в случае отрицательно инвариантных и инвариант-
ных компактов.
Свойство 4.
Пусть
Q M
и функция
ϕ
непрерывна на
M
. Если
ψ
(
x
) =
h
(
ϕ
(
x
))
,
где
h
:
R
→
R
— строго многотонная функция, то
Ω
r
ψ
(
Q
) = Ω
r
ϕ
(
Q
)
,
Ω
l
ψ
(
Q
) = Ω
l
ϕ
(
Q
)
,
Ω
ψ
(
Q
) = Ω
ϕ
(
Q
)
. В частности, эти
равенства выполняются
,
если
h
(
t
) =
at
+
b
,
a
6
= 0
.
Свойство 5.
Если функция
ϕ
2
C
(
M
)
на множестве
M
до-
стигает точной верхней грани
ϕ
в некоторой точке
x
2
Q,
то
ϕ
r
sup
(
Q
) =
ϕ
l
sup
(
Q
) =
ϕ
sup
(
Q
) =
ϕ
. Если функция
ϕ
достигает на
M
точной нижней грани
ϕ
в точке
x
2
Q,
то
ϕ
r
inf
(
Q
) =
ϕ
l
inf
(
Q
) =
=
ϕ
inf
(
Q
) =
ϕ
(
Q
)
.
Доказательства этих свойств получаются незначительной модифи-
кацией доказательств свойств 2 и 3.
Согласно свойству 5, если
ϕ
достигает на
M
точной верхней гра-
ни в некоторой точке множества
Q M
, то в определении множеств
Ω
r
ϕ
(
Q
)
,
Ω
l
ϕ
(
Q
)
,
Ω
ϕ
(
Q
)
можно опустить верхнюю границу. Аналогич-
но, если
ϕ
достигает на
M
точной нижней грани в некоторой точке
множества
Q M
, то в определении этих множеств можно опустить
нижнюю границу.
Сдвиги локализирующих множеств.
В работе [8] установлено
следующее важное свойство.
Свойство 6.
Пусть множество
G
содержит все положительно
инвариантные компакты дискретной системы
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
. Тогда
и множество
F
−
1
(
G
)
содержит все положительно инвариантные
компакты указанной системы.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
