Это свойство в случае дискретных систем открывает новые воз-
можности локализации, не нашедшие своего применения в случае не-
прерывных динамических систем. Эти возможности связаны со сдви-
гом найденных локализирующих множеств вдоль траекторий динами-
ческой системы.
Свойство 6 позволяет построить итерационную процедуру, полагая
Ω
0
=
G,
Ω
i
= Ω
i
−
1
∩
F
−
1
(Ω
i
−
1
)
, i
2
N
.
(1)
В результате получим последовательность вложенных множеств
G
= Ω
0
Ω
1
. . .
Ω
i
. . .
Их пересечение дает множество
Ω
∞
, состоящее из тех точек
x
2
G
, для которых
F
k
(
x
)
2
G
при всех
k
2
N
, т.е. точек, для которых орбита не выходит за пределы началь-
ного локализирующего множества
G
. И в самом деле, если
x
2
G
, но
F
k
(
x
)
/
2
G
, то по определению локализирующего множества точка
x
не принадлежит ни одному положительно инвариантному компакту и
ее можно удалить из локализирующего множества.
Теорема 3.
Если множество
G
является компактным
,
то множе-
ство
Ω
∞
есть максимальный положительно инвариантный компакт
системы.
Доказательство.
Множество
Ω
∞
замкнуто как пересечение за-
мкнутых множеств, а значит, компактно, так как это замкнутое под-
множество компакта. Покажем, что множество
Ω
∞
инвариантно. Пусть
x
2
Ω
∞
. Тогда
x
2
Ω
k
,
k
2
N
, а следовательно,
x
2
F
−
1
(Ω
k
−
1
)
. По-
следнее включение означает, что
F
(
x
)
2
Ω
k
−
1
для любого
k
2
N
, т.е.
F
(
x
)
2
Ω
∞
.
Доказанная теорема показывает, что описанная итерационная про-
цедура уточнения локализирующего множества с помощью сдвигов
во многих случаях позволяет получить сколь угодно точную оценку
положения положительно инвариантных компактов дискретной систе-
мы.
Установим другие свойства сдвигов локализирующих множеств
вдоль траекторий динамической системы.
Свойство 7.
Если множество
G M
содержит все положи-
тельно инвариантные компакты дискретной системы
,
то и множе-
ство
ˆ
F
(
G
)
содержит все положительно инвариантные компакты.
В частности
,
если
F
сюръективно
,
то образ любого локализирую-
щего множества для положительно инвариантных компактов есть
локализирующее множество.
Доказательство.
Пусть
K
— положительно инвариантный ком-
пакт. Тогда
F
−
1
(
K
)
G
. Действительно, пусть
x
0
2
F
−
1
(
K
)
. Тогда
множество
{
x
0
} ∪
K
является положительно инвариантным компак-
том, поскольку
F
(
x
0
)
2
K
и
F
(
x
)
2
K
при
x
2
K
. Следовательно,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
7
