В результате мы приходим к двум оптимизационным задачам:
(
Ax
+
y
→
sup
,
x
2
+
A
(
p
1
−
1)
x
+ (
A
−
1)
y
+
p
2
≤
0;
(5)
(
Ax
+
y
→
inf
,
x
2
+
A
(
p
1
−
1)
x
+ (
A
−
1)
y
+
p
2
≥
0
.
(6)
Оптимизационная задача (6) имеет тривиальное решение
−∞
, ко-
торое достигается при
y
= 0
и
x
→ −∞
. Поэтому остановимся на
задаче (5).
В задаче (5) точная верхняя грань достигается, когда ограничение
выполняется в виде равенства. Это позволяет выразить
y
через
x
и
свести оптимизационную задачу к одномерному случаю:
Ax
−
x
2
+
A
(
p
1
−
1)
x
+
p
2
A
−
1
→
sup
, x
2
R
.
Речь идет о точной верхней грани квадратного трехчлена с отрица-
тельным коэффициентом при квадрате. Такой многочлен имеет точку
максимума, значение в которой и дает ответ задачи (5). В результате
находим
ϕ
sup
=
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
.
Это дает локализирующее множество, которое описывается нера-
венством
y
≤
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
−
Ax.
(7)
Неравенство (7) задает семейство локализирующих множеств, ка-
ждое из этих множеств получается при конкретном значении пара-
метра
A >
1
. Пересечение множеств этого семейства можно записать
следующим образом:
y
≤
inf
A>
1
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
−
Ax .
(8)
В случае
(
p
1
−
1)
2
−
4
p
2
>
0
выражение в правой части (7) стремится
к
+
∞
и при
A
→
1
−
0
, и при
A
→
+
∞
. Поэтому в неравенстве (8)
знак точной нижней грани можно заменить знаком минимума:
y
≤
min
A>
1
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
−
Ax .
(9)
В случае
(
p
1
−
1)
2
−
4
p
2
= 0
точная нижняя грань в (8) конечна,
хотя может и не достигаться при конкретном значении
A >
1
. В случае
(
p
1
−
1)
2
−
4
p
2
<
0
выражение в правой части (7) стремится к
−∞
при
A
→
1
−
0
, т.е. точная нижняя грань в (8) имеет значение
−∞
при всех
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
