Рис. 1. Двукратный образ отображе-
ния Катала
что все инвариантные компакты
логистической системы содержат-
ся на отрезке
h
1
−
1
k
,
1
k
i
, если
k <
1
, и на отрезке
[0
,
1]
, если
k
≥
1
. Непосредственной провер-
кой можно убедиться в том, что
при
k <
1
отрезок
h
1
−
1
k
,
1
k
i
, а
при
k
≥
1
отрезок
[0
,
1]
, есть отри-
цательно инвариантное множество.
Таким образом, полученная лока-
лизация положительно инвариант-
ных компактов оказывается точной локализацией и инвариантных ком-
пактов.
Система Катала.
Рассмотрим дискретную систему Мира–Гумовс-
кого–Катала [10]
x
n
+1
=
p
1
x
n
+
y
n
,
y
n
+1
=
p
2
+
x
2
n
.
(3)
Этой системе соответствует отображение
F
(
x, y
) =
p
1
x
+
y
p
2
+
x
2
.
(4)
Особенностью отображения (4) является его неоднозначность. Оно
отображает плоскость
R
2
в полуплоскость
y
≥
p
2
, причем каждая
точка этой полуплоскости (за исключением границы) имеет два про-
образа. При повторных отображениях область еще более сокращается.
На рис. 1 показан образ двукратного отображения Катала.
Cистема Катала при некоторых комбинациях параметров имеет
сложное поведение. При
p
1
= 1
,
p
2
=
−
0
,
5952
в системе Катала воз-
никает хаотический аттрактор [10].
Система (3) при
Δ = (
p
1
−
1)
2
−
4
p
2
>
0
имеет две точки покоя с
координатами
x
1
,
2
=
1
−
p
1
± √
Δ
2
, y
1
,
2
=
(1
−
p
1
)
2
±
(1
−
p
1
)
√
Δ
2
.
При
(
p
1
−
1)
2
−
4
p
2
<
0
точек покоя нет. Оказывается (это следует из
дальнейшего), что в этом случае система вообще не имеет положи-
тельно инвариантных компактов.
Локализация с помощью линейной функции.
В качестве локализи-
рующей рассмотрим линейную функцию
ϕ
(
x, y
) =
Ax
+
y
,
A >
1
.
Тогда
(
ϕ
◦
F
−
ϕ
)(
x, y
) =
x
2
+
A
(
p
1
−
1)
x
+ (
A
−
1)
y
+
p
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
11
