значениях
x
, а пересечение локализирующих множеств, определяемое
неравенством (8), пусто. Следовательно, при
(
p
1
−
1)
2
−
4
p
2
<
0
си-
стема Катала не имеет положительно инвариантных (а следовательно,
и инвариантных) компактов.
Минимум в (9) определить аналитически не удается, но его можно
получить численно. Для этого найдем такое значение
A
, что при
A > A
функция
g
(
A
) =
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
A
−
1
−
4
Ax
=
= (
A
+ 1)(
A
−
p
1
)
2
+
A
+ 1
−
2
p
1
−
4
Ax
+
Δ
A
−
1
возрастает. Функция
g
(
A
)
— это учетверенное выражение, которое в
(9) стоит под знаком минимума. Тогда
min
A>
1
g
(
A
)
достигается на полу-
интервале
(1
, A
]
.
Дифференцируя функцию
g
(
A
)
, находим
g
0
(
A
) = (
A
−
p
1
)(3
A
+ 2
−
p
1
) + 1
−
4
x
−
Δ
(
A
−
1)
2
.
При
A >
|
p
1
|
имеем
(
A
−
p
1
)(3
A
+2
−
p
1
)
>
3(
A
−|
p
1
|
)
2
. Для выполне-
ния неравенства
g
0
(
A
)
>
0
достаточно, чтобы выполнялись неравен-
ства
3(
A
− |
p
1
|
)
2
−
4
x
≥
0
,
1
−
Δ
(
A
−
1)
2
≥
0
, которые эквивалентны
следующим:
A
≥ |
p
1
|
+
r
4
|
x
|
3
, A
≥
1 +
√
Δ
.
Таким образом,
min
A>
1
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
−
Ax
= min
A
2
(1
,A
)
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
−
Ax ,
где
A
= max
n
|
p
1
|
+
r
4
|
x
|
3
,
1 +
p
(
p
1
−
1)
2
−
4
p
2
o
.
На рис. 2 изображены аттрактор системы Катала при
p
1
= 1
,
p
2
=
−
0
,
5952
и граница локализирующего множества (8).
Сдвиги локализирующих множеств.
Согласно свойству 6 множе-
ство
F
−
1
(
G
)
является локализирующим множеством для положитель-
но инвариантных компактов, если
G
— локализирующее множество.
Найденное семейство локализирующих множеств (9) позволяет с по-
мощью сдвигов вдоль орбит системы найти новые локализирующие
множества, уточняющие положение инвариантных компактов сис-
темы.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
13
