соответствующую итерационную процедуру (1), можно показать, что
в этом случае система имеет максимальный положительно инвариант-
ный компакт, представляющий собой канторово множество, причем
отрезок
[0
,
1]
— это наименьший отрезок, содержащий этот компакт.
В этом смысле и при
k >
4
локализация функцией
γ
дает точный
результат.
Локализация отрицательно инвариантных компактов.
Попытка
построить локализирующее множество для отрицательно инвариант-
ных компактов с помощью линейной или квадратичной функции при-
водит к тривиальному результату — локализирующему множеству
R
.
Возникает вопрос, подобные результаты отражают действительные
свойства системы или это результат неудачного выбора локализиру-
ющих функций?
Теорема 4.
Пусть
R >
1 +
1
k
. Тогда отрезок
[
−
R, R
]
есть отри-
цательно инвариантное множество логистической системы.
Доказательство.
Пусть
A
= [
−
R, R
]
. Чтобы доказать, что
F
−
1
(
A
)
A
, достаточно показать, что
F
(
R
\
A
)
R
\
A
. Покажем,
что если
|
x
|
> R
, то
F
(
x
)
<
−|
x
|
<
−
R
. Отсюда следует включение
F
(
R
\
A
) (
−∞
,
−
R
)
R
\
A
.
Пусть
x > R
. Неравенство
F
(
x
)
<
−|
x
|
в данном случае означает,
что
k
(
x
−
x
2
)
<
−
x
, или
kx
2
−
(
k
+ 1)
x >
0
. Последнее неравенство
выполняется при
x >
k
+ 1
k
= 1 +
1
k
.
Пусть
x <
−
R
. Неравенство
F
(
x
)
<
−|
x
|
с учетом знака
x
озна-
чает, что
k
(
x
−
x
2
)
< x
, или
kx
2
−
(
k
−
1)
x >
0
. Последнее не-
равенство выполняется при
x <
min
n
0;
k
−
1
k
o
и, в частности, при
x <
−
R
≤ −
1
−
1
k
.
Из доказанной теоремы вытекает, что объединение всех компакт-
ных отрицательно инвариантных множеств логистической системы
совпадает с числовой осью. Действительно, объединение отрезков
[
−
R, R
]
по всем значениям
R >
1 +
1
k
, для которых такой отрезок
есть отрицательно инвариантный компакт, совпадает с числовой осью.
Ясно, что объединение всех отрицательно инвариантных компактов,
которое включает и указанные отрезки
[
−
R, R
]
, также совпадает с
числовой осью.
Локализация инвариантных компактов.
Для оценки положения
компактных инвариантных множеств достаточно взять пересечение
локализирующих множеств для положительно инвариантных и отри-
цательно инвариантных компактов. Из изложенного выше вытекает,
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1