системе связан с появлением в ней хаотического поведения при воз-
растании параметра
k
.
Локализация положительно инвариантных компактов.
Выясним,
какие результаты дает функциональный метод для положительно ин-
вариантных компактов логистической системы. В качестве локализи-
рующей выберем простейшую функцию
ϕ
(
x
) =
x
. Тогда
ϕ
(
F
(
x
))
−
ϕ
(
x
) =
k
(
x
−
x
2
)
−
x
= (
k
−
1)
x
−
kx
2
.
Множество
Σ
−
ϕ
описывается неравенством
(
k
−
1)
x
−
kx
2
≤
0
, а мно-
жество
Σ
+
ϕ
— неравенством
(
k
−
1)
x
−
kx
2
≥
0
. Возникают две опти-
мизационные задачи:
(
x
→
sup;
(
k
−
1)
x
−
kx
2
≤
0;
(
x
→
inf;
(
k
−
1)
x
−
kx
2
≥
0
.
(2)
Первая задача (2) дает тривиальное решение
ϕ
r
sup
= +
∞
, дости-
гаемое при
x
→
+
∞
. Вторая задача (2) дает конечное значение. При
k <
1
имеем
ϕ
r
inf
=
k
−
1
k
, а при
k
≥
1
заключаем, что
ϕ
r
inf
= 0
.
В результате получаем локализирующее множество
Ω
r
ϕ
, которое при
k <
1
есть полуинтервал
h
k
−
1
k
,
+
∞
, а при
k
≥
1
— полуинтервал
[0
,
+
∞
)
.
Видно, что линейная локализирующая функция дает левую грани-
цу положения положительно инвариантных компактных множеств, но
не дает какой-либо правой границы.
Если рассмотреть локализирующую функцию
ψ
(
x
) =
x
2
, мы, рас-
суждая аналогично, получим локализирующее множество
|
x
| ≤
k
+ 1
k
,
которое, несомненно, лучше указывает границу для положительно ин-
вариатных компактов, чем линейная функция.
Этот пример локализирующей функции можно развить и рассмо-
треть семейство квадратичных функций
γ
(
x
) = (
x
+
A
)
2
. Однако отме-
тим, что график логистической функции симметричен относительно
прямой
x
= 1
/
2
. Учитывая эту симметрию, выделим из семейства
функцию
γ
(
x
) =
x
−
1
2
2
, которая приводит к локализирующему
множеству
Ω
r
γ
=
h
k
−
1
k
,
1
k
i
при
k <
1
и множеству
Ω
r
γ
= [0
,
1]
при
k
≥
1
.
Нетрудно убедиться в том, что при
k
≤
4
локализация функцией
γ
дает точный результат, поскольку в этой случае отрезок
Ω
r
γ
переводит-
ся логистическим отображением в себя, т.е. является положительно
инвариантным компактом. При
k >
4
отрезок
Ω
r
γ
= [0
,
1]
уже не явля-
ется положительно инвариантным. Однако, используя свойство 6 и
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
9
