— если
K
положительно инвариантно
,
то оно содержится в мно-
жестве
Ω
r
ϕ
=
{
x
2
M
:
ϕ
r
inf
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
}
;
— если
K
отрицательно инвариантно
,
то оно содержится в мно-
жестве
Ω
l
ϕ
=
{
x
2
M
:
ϕ
l
inf
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
l
sup
}
;
— если
K
инвариантно
,
то оно содержится в множестве
Ω
ϕ
=
{
x
2
M
:
ϕ
inf
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
sup
}
.
Укажем некоторые свойства локализирующих множеств.
Свойство 1.
Если
Ω
α
, α
2
I
, — некоторое семейство множеств
,
каждое из которых содержит все компактные положительно инва-
риантные
(
отрицательно инвариантные
,
инвариантные
)
множества
динамической системы
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
,
то все компактные положи-
тельно инвариантные
(
отрицательно инвариантные
,
инвариантные
)
множества динамической системы содержатся в множестве
T
α
2
I
Ω
α
.
Свойство 2.
Если функция
ϕ
непрерывна на множестве
M
и
ψ
(
x
) =
h
(
ϕ
(
x
))
,
где
h
:
R
→
R
— строго многотонная функция
,
то
Ω
r
ψ
= Ω
r
ϕ
,
Ω
l
ψ
= Ω
l
ϕ
,
Ω
ψ
= Ω
ϕ
. В частности
,
эти равенства
выполняются
,
если
h
(
t
) =
at
+
b, a
6
= 0
.
Свойство 3.
Если функция
ϕ
2
C
(
M
)
на множестве
M
до-
стигает точной верхней грани
ϕ
в некоторой точке
x
2
M,
то
ϕ
r
sup
=
ϕ
l
sup
=
ϕ
sup
=
ϕ
. Если функция
ϕ
достигает на
M
точной
нижней грани
ϕ
в точке
x
2
M,
то
ϕ
r
inf
=
ϕ
l
inf
=
ϕ
inf
=
ϕ
.
Учет дополнительной информации.
Для любого множества
Q M
положим
ϕ
r
inf
(
Q
) = inf
Σ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
, ϕ
r
sup
(
Q
) = sup
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
);
ϕ
l
inf
(
Q
) = inf
ˆ
F
(Σ
−
ϕ
)
∩
Q
ϕ
(
x
)
, ϕ
l
sup
(
Q
) = sup
ˆ
F
(Σ
+
ϕ
)
∩
Q
ϕ
(
x
);
ϕ
inf
(
Q
) = inf
Σ
+
ϕ
∩
ˆ
F
(Σ
−
ϕ
)
∩
Q
ϕ
(
x
)
, ϕ
l
sup
(
Q
) = sup
Σ
−
ϕ
∩
ˆ
F
(Σ
+
ϕ
)
∩
Q
ϕ
(
x
)
.
Теорема 2.
Пусть заданы система
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
на множестве
M
и множество
Q M
. Тогда для любого компактного множества
K Q
:
— если
K
положительно инвариантно
,
то оно содержится в мно-
жестве
Ω
r
ϕ
(
Q
) =
{
x
2
Q
:
ϕ
r
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
(
Q
)
}
;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
5
