{
x
0
} ∪
K G
. Тем самым показано, что
x
0
2
G
для любой точки
x
0
2
F
−
1
(
K
)
. Значит,
F
−
1
(
K
)
G
. Но тогда
K
ˆ
F
(
G
)
. В частном
случае, если
F
— сюръективное отображение, из условия
F
−
1
(
K
)
G
вытекает, что
K F
(
G
)
, т.е. для сюръективного отображения локали-
зирующим является множество
F
(
G
)
.
Свойство 8.
Если множество
G
содержит все отрицательно
инвариантные компакты системы
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
,
то и множество
ˆ
F
(
G
)
также содержит все отрицательно инвариантные компакты
указанной системы. В частности
,
если
F
сюръективно и
G
— лока-
лизирующее множество для отрицательно инвариантных компактов
рассматриваемой системы
,
то и
F
(
G
)
есть локализирующее множе-
ство.
Доказательство.
Пусть отрицательно инвариантное компактное
множество
K
входит в
G
. Тогда множество
F
−
1
(
K
)
K
также входит
в
G
. Следовательно,
K
ˆ
F
(
G
)
. В частном случае сюръективного
отображения
F
имеем
ˆ
F
(
G
)
F
(
G
)
, так что в этом случае
F
(
G
)
является локализирующим множеством.
Свойство 9.
Пусть дискретная система
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
определя-
ется инъективным отображением
F
. Тогда если множество
G
со-
держит все отрицательно инвариантные компакты рассматривае-
мой системы, то и множество
F
−
1
(
G
)
содержит все отрицательно
инвариантные компакты.
Доказательство.
Для инъективного непрерывного отображения
F
для любого отрицательного инвариантного компакта
K
множество
K
∪
F
(
K
)
также является отрицательно инвариатным компактом.
Действительно, во-первых, это множество компактно как объеди-
нение двух компактных множеств, a во-вторых,
F
−
1
(
K
∪
F
(
K
)) =
=
F
−
1
(
K
)
∪
F
−
1
(
F
(
K
)) =
F
−
1
(
K
)
∪
K,
следовательно,
F
−
1
(
K
∪
F
(
K
))
K K
∪
F
(
K
)
.
Итак, если
F
— инъективное непрерывное отображение и
G
со-
держит любой отрицательно инвариантный компакт
K
, то оно содер-
жит и
K
∪
F
(
K
)
, поскольку это тоже инвариантный компакт. Значит,
F
(
K
)
G
, а отсюда вытекает включение
K
=
F
−
1
(
F
(
K
))
F
−
1
(
G
)
.
Свойство 10.
Если все инвариантные компакты дискретной си-
стемы
x
n
+1
=
F
(
x
n
)
содержатся в множестве
G,
то они содержат-
ся и в множествах
ˆ
F
(
G
)
и
F
−
1
(
G
)
.
Доказательство.
Утверждение вытекает из свойств 6 и 7, посколь-
ку любой инвариатный компакт является положительно инвариатным.
Логистическое отображение.
Одномерная система
x
n
+1
=
=
k
(
x
n
−
x
2
n
)
с отображением
F
(
x
) =
k
(
x
−
x
2
)
,
k >
0
, в теории
дискретных систем детально изучена [9]. Основной интерес к этой
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
