Запишем условие трансверсальности в точке
t
=
T
(незакреплен-
ный конец траектории) в координатной форме:
p
0
(
T
) =
e
−
δT
ψ
k
(1)
0
(
k
0
(
T
)
, k
1
(
T
)
, k
2
(
T
)) =
ψ
(0)
0
(
T
);
p
1
(
T
) =
e
−
δT
ψ
k
(1)
1
(
k
0
(
T
)
, k
1
(
T
)
, k
2
(
T
)) =
ψ
(0)
1
(
T
);
p
2
(
T
) =
e
−
δT
ψ
k
(1)
2
(
k
0
(
T
)
, k
1
(
T
)
, k
2
(
T
)) =
ψ
(0)
2
(
T
)
.
(7)
Как уже было отмечено, функция
ψ
(
k
(1)
0
, k
(1)
1
, k
(1)
2
)
, определяющая
терминальную часть целевого функционала, предполагается задан-
ной аналитически. Символы
k
(1)
0
, k
(1)
1
, k
(1)
2
обозначают аргументы этой
функции. В выражении для целевого функционала эти аргументы при-
нимают значения
k
(1)
i
=
k
i
(
T
)
,
i
= 0
,
1
,
2
. Частные производные функ-
ции
ψ
(
k
(1)
0
, k
(1)
1
, k
(1)
2
)
по каждой переменной также предполагаются из-
вестными. Ввиду этого правая часть условия трансверсальности или,
в координатной форме, системы равенств (7), представляет собой за-
данную векторную величину, которая для краткости обозначается как
(
ψ
(0)
0
(
T
)
, ψ
(0)
1
(
T
)
, ψ
(0)
2
(
T
))
.
Условия трансверсальности — граничные условия к системе сопря-
женных уравнений. Таким образом, объединяя (6) и (7), получаем за-
дачу Коши относительно векторной функции
p
(
t
)=(
p
0
(
t
)
, p
1
(
t
)
, p
2
(
t
))
.
Основное необходимое условие, входящее в принцип максимума, —
условие максимума функции Понтрягина, которое в рассматриваемой
задаче может быть сформулировано следующим образом:
max
u
1
H
(
t, k
0
, k
1
, k
2
;
u
1
, p
0
, p
1
, p
2
) =
= max
u
1
h
−
[
λ
0
k
0
p
0
+
λ
1
k
1
p
1
+
λ
2
k
2
p
2
] +
B
2
e
−
δt
k
α
2
2
+
+
A
1
k
α
1
1
[
l
(1)
0
ρp
0
+
l
(2)
0
(1
−
ρ
)
p
2
]+
A
1
k
α
1
1
[
−
l
(1)
0
ρp
0
+
p
1
−
l
(2)
0
(1
−
ρ
)
p
2
]
u
1
i
=
=
H
(
t, k
0
, k
1
, k
2
;
u
1
, p
0
, p
1
, p
2
)
,
(8)
где максимум функции Понтрягина по параметру
u
1
определяется на
множестве допустимых значений данного параметра управления (со-
отношение (3)):
0
≤
u
1
(
t
) =
i
1
(
t
)
A
1
k
α
1
1
(
t
)
≤
1
.
Указанное ограничение на управление должно выполняться при лю-
бом фиксированном значении временного параметра
t
2
[0
, T
]
. Смысл
условия (8) заключается в том, что функция Понтрягина достигает
максимума при оптимальном значении параметра управления, т.е. при
u
1
(
t
) =
u
1
(
t
)
. Остальные величины, входящие в функцию Понтряги-
на (функции состояний
k
0
(
t
)
, k
1
(
t
)
, k
2
(
t
)
и сопряженные переменные
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
