p
0
(
t
)
, p
1
(
t
)
, p
2
(
t
)
) предполагаются фиксированными. Отметим также,
что условие максимума выполняется при всех значениях
t
2
[0
, T
]
,
кроме, быть может, точек разрыва функции оптимального управления
u
1
(
t
)
.
Для нахождения неизвестных параметров в задаче оптимального
управления к соотношениям (6)–(8), представляющим собой необхо-
димые условия экстремума, следует добавить ограничения исходной
задачи, т.е. соотношения
(
T
2
)
,
(
T
3
)
,
(
T
4
)
.
С формальной точки зрения решение полученной полной систе-
мы соотношений является управляемым процессом
(
k
0
(
t
)
, k
1
(
t
)
, k
2
(
t
);
u
1
(
t
))
, t
2
[0
, T
]
, допустимым в исходной задаче оптимального упра-
вления и удовлетворяющим необходимым условиям экстремума в фор-
ме принципа максимума. В терминологии теории экстремальных задач
такой объект называется допустимой экстремалью [7].
Анализ условия максимума и структуры оптимального упра-
вления.
Начнем исследование указанной полной системы соотноше-
ний с анализа условия максимума функции Понтрягина. Определив
структуру оптимального управления, можно разработать схему даль-
нейшего аналитического исследования.
Введем вспомогательную функцию, зависящую от сопряженных
параметров,
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
) =
−
l
(1)
0
ρp
0
(
t
) +
p
1
(
t
)
−
l
(1)
2
(1
−
ρ
)
p
2
(
t
)
.
С учетом этого функция Понтрягина примет вид
H
(
t
;
k
0
, k
1
, k
2
;
u
1
;
p
0
, p
1
, p
2
) =
=
A
1
k
α
1
1
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
u
1
−
[
λ
0
k
0
p
0
+
λ
1
k
1
p
1
+
λ
2
k
2
p
2
]+
+
B
2
e
−
δt
k
α
2
2
+
A
1
k
α
1
1
[
l
(1)
0
ρp
0
+
l
(2)
0
(1
−
ρ
)
p
2
]
.
Как уже было отмечено, аналитический смысл условия максимума
заключается в том, что при любом фиксированном значении параме-
тра времени
t
2
[0
, T
]
, кроме, быть может, точек разрыва функции
оптимального управления
u
1
(
t
)
, максимум функции Понтрягина по
параметру управления
u
1
на множестве допустимых значений этого
параметра достигается при оптимальном значении
u
1
(
t
)
. В рассматри-
ваемой задаче при любом фиксированном значении времени
t
и фик-
сированных значениях параметров
k
0
(
t
)
, k
1
(
t
)
, k
2
(
t
)
,
p
0
(
t
)
, p
1
(
t
)
, p
2
(
t
)
функция Понтрягина линейно зависит от параметра
u
1
на множестве
значений
u
1
2
[0
,
1]
с коэффициентом
A
1
k
α
1
1
Q
(
p
0
, p
1
, p
2
)
. Поскольку в
изучаемой математической модели функция
y
1
(
t
) =
A
1
k
α
1
1
(
t
)
по эконо-
мическому содержанию представляет собой производительность труда
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
111
