I
(
k
0
(
∙
)
, k
1
(
∙
)
, k
2
(
∙
);
u
1
(
∙
)) =
=
T
Z
0
e
−
δt
A
2
θ
2
k
α
2
2
(
t
)
dt
+
e
−
δT
ψ
(
k
0
(
T
)
, k
1
(
T
)
, k
2
(
T
))
.
Отметим, что интегрант (подынтегральная функция) в этом функцио-
нале не зависит от аргументов
t, k
0
, k
1
, u
1
.
2. Определим ограничения на управления, допустимые в рассма-
триваемой задаче. С учетом соотношения (2) и неотрицательности
удельных инвестиций получим двойное неравенство
0
≤
u
1
(
t
) =
i
1
(
t
)
A
1
k
α
1
1
(
t
)
≤
1
, t
2
[0
, T
]
.
(3)
Таким образом, множество допустимых управлений имеет вид
U
=
= [0
,
1]
R
.
Если принять
u
1
= 1
, то
i
1
=
A
1
k
α
1
1
, тогда
i
1
=
I
1
L
1
=
A
1
k
α
1
1
=
Y
1
L
1
,
отсюда
I
1
=
Y
1
. В таком случае
I
0
=
ρ
(
Y
1
−
I
1
)=0
,
I
2
=(1
−
ρ
)(
Y
1
−
I
1
) =
= 0
. Следовательно, если функция управления
u
1
(
t
)
принимает одно
из своих граничных значений 0 или 1, то либо инвестиции в первый
(фондосоздающий) сектор, либо инвестиции в нулевой (материаль-
ный) и второй (потребительский) секторы являются нулевыми. При
этом экономическое содержание условий
u
1
(
t
) = 1
и
u
1
(
t
) = 0
за-
ключается в том, что в определенные промежутки времени инвести-
ционные ресурсы в данной системе полностью сосредоточиваются в
фондосоздающем секторе или в материальном и потребительском сек-
торах соответственно. В реальной экономике такая ситуация кажется
неоправданной. Однако в формально поставленной задаче оптималь-
ного управления она допустима и может оказаться оптимальной. В
связи с этим в настоящей работе рассмотрим ограничения на допусти-
мые управления в виде (3).
3. Получим динамическое соотношение, описывающее изменение
во времени параметров фондовооруженности (удельного капитала)
k
0
(
t
)
,
k
1
(
t
)
,
k
2
(
t
)
. Такие соотношения в теории управления называ-
ются дифференциальной связью и характеризуют изменение состоя-
ний системы при заданном управлении [5, 7]. Основа для уравнений
дифференциальной связи — динамические соотношения для функций
фондовооруженностей в различных секторах (1).
Введем для удобства дополнительные обозначения
l
(1)
0
=
L
1
,
0
L
0
,
0
,
l
(1)
2
=
L
1
,
0
L
2
,
0
. При этом коэффициенты
λ
j
,
j
= 0
,
1
,
2
;
l
(1)
0
, l
(1)
2
предпола-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
107
