гаются известными. Тогда с помощью аналитических преобразований
из (1) можно получить следующую систему:
˙
k
0
=
−
λ
0
k
0
+
l
(1)
0
ρA
1
k
α
1
1
(1
−
u
1
);
˙
k
1
=
−
λ
1
k
1
+
A
1
k
α
1
1
u
1
;
˙
k
2
=
−
λ
2
k
2
+
l
(1)
2
(1
−
ρ
)
A
1
k
α
1
1
(1
−
u
1
)
.
(4)
Система соотношений (4) представляет собой систему дифференци-
альных уравнений первого порядка относительно функций
k
0
(
t
)
,
k
1
(
t
)
,
k
2
(
t
)
, выполняющих в этой математической модели роль состояний.
Полученные уравнения являются разрешенными относительно про-
изводных
˙
k
0
,
˙
k
1
,
˙
k
2
, и их правая часть зависит от параметра управле-
ния
u
1
. Известно, что при таких условиях система дифференциальных
уравнений (4) образует дифференциальную связь в рассматриваемой
задаче оптимального управления [5–7].
4. Как уже было отмечено, начальные значения для параметров,
характеризующих состояние системы, предполагаются заданными. Та-
ким образом, получена задача оптимального управления в канониче-
ской форме для трехсекторной модели экономики:
(
T
1
)
T
Z
0
e
−
δt
A
2
θ
2
k
α
2
2
(
t
)
dt
+
e
−
δT
ψ
(
k
0
(
T
)
, k
1
(
T
)
, k
2
(
T
))
−→
max
— целевой функционал смешанного типа с интегральной и терминаль-
ной частями;
(
T
2
)
˙
k
0
=
−
λ
0
k
0
+
l
(1)
0
ρA
1
k
α
1
1
(1
−
u
1
);
˙
k
1
=
−
λ
1
k
1
+
A
1
k
α
1
1
u
1
;
˙
k
2
=
−
λ
2
k
2
+
l
(1)
2
(1
−
ρ
)
A
1
k
α
1
1
(1
−
u
1
)
— дифференциальная связь;
(
T
3
)
k
0
(0) =
k
0
,
0
;
k
1
(0) =
k
1
,
0
;
k
2
(0) =
k
2
,
0
— начальные условия на основные параметры (состояния системы);
(
T
4
) 0
≤
u
1
(
t
) =
i
1
(
t
)
A
1
k
α
1
1
(
t
)
≤
1
,
0
≤
t
≤
T
— ограничения на допустимое управление.
Дополнительно обозначим
B
2
=
A
2
θ
2
. Постоянная величина
B
2
является известной. Тогда интегральная часть целевого функционала
имеет вид
T
Z
0
B
2
e
−
δt
k
α
2
2
(
t
)
dt
.
108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
