Поставленная задача оптимального управления
(
T
1
)
,
(
T
2
)
,
(
T
3
)
,
(
T
4
)
по форме представляет собой классическую задачу с фиксированным
интервалом времени, закрепленным левым и свободным правым кон-
цами траектории. Для этой задачи, как и для других, более общих,
задач известно теоретическое утверждение о необходимых условиях
экстремума, называемое принципом максимума Понтрягина [9, 10].
Далее поставленная задача оптимального управления будет иссле-
дована с помощью принципа максимума Понтрягина. Отметим, что
для такого исследования полезно использовать работы [9, 10], в кото-
рых подробно рассмотрены различные аспекты применения принци-
па максимума Понтрягина для решения задач оптимального управле-
ния динамическими экономическими системами. Близкие по форме
экономико-математические задачи представлены в работах [11–13].
Необходимые условия экстремума в задаче оптимального упра-
вления в форме принципа максимума.
Используем так называемую
гамильтонову форму принципа максимума [5–7]. Введем основную
вспомогательную функцию, называемую функцией Понтрягина [5–7],
или гамильтонианом [8]. Будем основываться на теоретическом пред-
ставлении функции Понтрягина в задаче оптимального управления
[5, 7]. Учитывая, что в рассматриваемой классической задаче опти-
мального управления
(
T
1
)
,
(
T
2
)
,
(
T
3
)
,
(
T
4
)
множитель Лагранжа, соот-
ветствующий целевому функционалу, можно принять равным едини-
це [7], запишем аналитическое выражение для этой функции:
H
(
t, k
0
, k
1
, k
2
, u
1
, p
0
, p
1
, p
2
) =
−
[
λ
0
k
0
p
0
+
λ
1
k
1
p
1
+
λ
2
k
2
p
2
]+
B
2
e
−
δt
k
α
2
2
+
+
A
1
k
α
1
1
[
l
(1)
0
ρp
0
+
l
(2)
0
(1
−
ρ
)
p
2
]+
A
1
k
α
1
1
[
−
l
(1)
0
ρp
0
+
p
1
−
l
(2)
0
(1
−
ρ
)
p
2
]
u
1
.
(5)
Исходя из общей формы сопряженного уравнения в задаче опти-
мального управления [5–7], получаем следующую систему диффе-
ренциальных уравнений относительно сопряженных переменных
p
0
(
t
)
, p
1
(
t
)
, p
2
(
t
)
:
˙
p
0
(
t
) =
λ
0
p
0
(
t
);
˙
p
1
(
t
) =
λ
1
p
1
(
t
)
−
A
1
α
1
k
α
1
−
1
1
(
t
)
h
l
(1)
0
ρp
0
(
t
) +
l
(1)
2
(1
−
ρ
)
p
2
(
t
)
i
×
×
(1
−
u
1
(
t
))
−
A
1
α
1
k
α
1
−
1
1
(
t
)
u
1
(
t
);
˙
p
2
(
t
) =
λ
2
p
2
(
t
)
−
B
2
e
−
δt
α
2
k
α
2
−
1
2
(
t
)
.
(6)
Следующей составной частью необходимых условий экстремума в
форме принципа максимума являются условия трансверсальности. Те-
оретическая форма условия трансверсальности для рассматриваемой
задачи с фиксированным интервалом времени и закрепленным левым
концом траектории приведена в работах [6–8].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
109
