в котором
u
0
—
приближенная точка перевала
.
Из выражения
(45)
с
учетом формул
(37)
и
(44)
получаем асимптотику
Φ(1 +
aν,
2; 2
ν
(
γ
ν
+
b
))
Φ(1 +
aν,
2; 2
bν
)
∼
exp
µ
2
u
0
νγ
ν
−
2
νγ
2
ν
S
00
(
u
0
)
¶
.
Следовательно
,
для характеристической функции при
ν
→ ∞
имеем
ϕ
ν
(
τ
)
∼
exp
µ
(2
u
0
−
1)
νγ
ν
(
τ
)
−
2
νγ
2
ν
(
τ
)
S
00
(
u
0
)
−
ωτ
m
ν
σ
ν
¶
=
= exp
Ã
νγ
ν
(
τ
)
r
1 +
2
a
b
−
aνγ
2
ν
(
τ
)
2
b
(2
a
+
b
)
r
1 +
2
a
b
−
ωτ
m
ν
σ
ν
!
.
Используя разложения по формуле Тейлора
γ
ν
(
τ
) =
ωτ
σ
ν
−
τ
2
2
σ
2
ν
+
o
(
σ
−
2
ν
)
,
γ
2
ν
(
τ
) =
−
τ
2
σ
2
ν
+
o
(
σ
−
2
ν
)
,
получим выражение
ϕ
ν
(
τ
)
∼
exp
Ã
ωτ
ν
p
1 + 2
a/b
−
m
ν
σ
ν
−
µ
1
−
a
b
(2
a
+
b
)
¶ r
1 +
2
a
b
ντ
2
2
σ
2
ν
!
.
(46)
Заметим
(
см
.
формулу
(42)),
что
m
ν
−
ν
r
1 +
2
a
b
=
a
2
b
(2
a
+
b
)
+
o
(1)
,
откуда следует
,
что первое слагаемое под знаком экспоненты в выра
-
жении
(46)
стремится к нулю
.
Далее
,
используя асимптотику для
σ
2
ν
в
утверждении
3,
при
ν
→ ∞
получаем окончательно
ϕ
ν
(
τ
)
∼
exp
Ã
−
µ
1
−
a
b
(2
a
+
b
)
¶ r
1 +
2
a
b
ντ
2
2
σ
2
ν
!
∼
e
−
τ
2
/
2
.
Теорема доказана
.
Заключение
.
Применение аналитических методов позволило ис
-
следовать асимптотические свойства стационарного распределения
для процессов со схемами вида
0
→
k
0
T
,
2
T
→
k
2
T
.
Доказательства
предельных теорем следуют из интегральных представлений решений
уравнения Колмогорова
.
Предложенные в работе методы обобщают
-
ся для процессов со схемами вида
0
→
k
0
T
,
T
→
k
1
T
,
2
T
→
k
2
T
.
Переход
T
→
2
T
характерен для автокаталитической химической ре
-
акции
,
а переход
2
T
→
3
T
учитывает возможность размножения в
20
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
