O
бщее решение
f
(
s
) =
C
1
e
−
νs
+
C
2
e
νs
,
ν
=
p
λ/µ
,
представим в виде
степенного ряда
f
(
s
) =
∞
X
j
=0
((
−
1)
j
C
1
+
C
2
)
ν
j
s
j
j
!
,
(10)
где
C
1
,
C
2
—
произвольные константы
.
Поскольку переход из состо
-
яния
i
в состояние
i
+ 1
невозможен
,
то
P
i,i
+1
(
t
)
≡
0
.
Если процесс
ξ
(
t
)
находится в классе состояний
K
0
,
то ряд
(10) c
одержит только чет
-
ные степени
s
,
и тогда
C
1
=
C
2
;
если в классе состояний
K
1
—
ряд
(10)
содержит только нечетные степени
s
,
и тогда
C
1
=
−
C
2
.
Опреде
-
ляя константы
C
1
и
C
2
из условия нормировки
f
(1) = 1
,
получаем для
производящих функций выражения
f
0
(
s
) =
ch(
νs
)
ch(
ν
)
,
f
1
(
s
) =
sh(
νs
)
sh(
ν
)
.
(11)
Таким образом
,
распределения вероятностей
[16]
q
j,
0
=
ν
j
j
! ch(
ν
)
, j
∈
K
0
,
q
j,
1
=
ν
j
j
! sh(
ν
)
, j
∈
K
1
,
(12)
являются предельными стационарными распределениями в классах со
-
общающихся состояний
K
0
и
K
1
соответственно
.
Рассмотрим случайные величины
η
ν,
0
и
η
ν,
1
с распределениями ве
-
роятностей
(12).
Из формул
(6)
получаем для математических ожида
-
ний
m
ν,
0
= M
η
ν,
0
,
m
ν,
1
= M
η
ν,
1
и дисперсий
σ
2
ν,
0
= D
η
ν,
0
,
σ
2
ν,
1
= D
η
ν,
1
следующие выражения
:
m
ν,
0
=
ν
th(
ν
)
,
σ
2
ν,
0
=
ν
2
(1
−
th
2
(
ν
)) +
ν
th(
ν
)
,
(13)
m
ν,
1
=
ν
cth(
ν
)
,
σ
2
ν,
1
=
ν
2
(1
−
cth
2
(
ν
)) +
ν
cth(
ν
)
.
(14)
Утверждение
1.
При
n
= 0
,
1
и
ν
→ ∞
справедливы асимптотики
m
ν,n
∼
ν,
σ
2
ν,n
∼
ν.
Доказательство
.
Из определения функций
th(
z
)
и
cth(
z
)
следу
-
ют асимптотические формулы при
z
→
+
∞
:
th(
z
)
∼
1
,
cth(
z
)
∼
1
,
1
−
th
2
(
z
)
∼
4
e
−
2
z
,
1
−
cth
2
(
z
)
∼ −
4
e
−
2
z
.
Применение указанных фор
-
мул к выражениям
(13)
и
(14)
завершает доказательство утверждения
.
10
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
