Теорема
1.
При
n
= 0
,
1
,
ν
→ ∞
и фиксированном
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
имеем
lim
ν
→∞
P
½
η
ν,n
−
m
ν,n
σ
ν,n
≤
x
¾
=
1
√
2
π
x
Z
−∞
e
−
y
2
/
2
dy.
Доказательство
.
Для доказательства предельной теоремы исполь
-
зуем стандартный метод характеристических функций
[9,
гл
. 9].
Введем
характеристическую функцию
(
здесь и далее мнимую единицу обозна
-
чим
ω
,
ω
2
=
−
1
)
ϕ
ν,n
(
τ
) = M exp
µ
ωτ
η
ν,n
−
m
ν,n
σ
ν,n
¶
нормированной случайной величины
(
η
ν,n
−
m
ν,n
)
/σ
ν,n
.
По определе
-
нию математического ожидания имеем
ϕ
ν,n
(
τ
) =
∞
X
k
=0
P
{
η
ν,n
= 2
k
+
n
}
exp
µ
ωτ
2
k
+
n
−
m
ν,n
σ
ν,n
¶
=
= exp
µ
−
ωτ
m
ν,n
σ
ν,n
¶
f
n
µ
exp
µ
ωτ
σ
ν,n
¶¶
.
В соответствии с формулами
(11)
получаем
ϕ
ν,
0
(
τ
) = exp
µ
−
ωτ
m
ν,
0
σ
ν,
0
¶
ch
µ
ν
exp
µ
ωτ
σ
ν,
0
¶¶
ch(
ν
)
,
(15)
ϕ
ν,
1
(
τ
) = exp
µ
−
ωτ
m
ν,
1
σ
ν,
1
¶
sh
µ
ν
exp
µ
ωτ
σ
ν,
1
¶¶
sh(
ν
)
.
(16)
Покажем
,
что при
ν
→ ∞
характеристическая функция
ϕ
ν,n
(
τ
)
стремится к характеристической функции
e
−
τ
2
/
2
случайной величи
-
ны
,
распределенной по стандартному нормальному закону
.
Из опре
-
деления функций
sh(
z
)
и
ch(
z
)
следуют асимптотические формулы
sh(
z
)
∼
e
z
/
2
,
ch(
z
)
∼
e
z
/
2
при
|
z
| → ∞
,
|
arg
z
| ≤
π/
2
−
δ < π/
2
(
здесь
и далее
δ >
0
сколь угодно мало и не зависит от
z
),
с помощью которых
из выражений
(15)
и
(16)
получаем при
ν
→ ∞
ϕ
ν,n
(
τ
)
∼
exp
µ
ν
µ
exp
µ
ωτ
σ
ν,n
¶
−
1
¶
−
ωτ
m
ν,n
σ
ν,n
¶
.
Используя разложение по формуле Тейлора
exp
µ
ωτ
σ
ν,n
¶
= 1 +
ωτ
σ
ν,n
−
τ
2
2
σ
2
ν,n
+
o
¡
σ
−
2
ν,n
¢
,
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
11
