Перемножая последние формулы
,
получаем
1 +
2
a
b
−
φ
2
ν
∼
3
a
+ 2
b
b
(2
a
+
b
)
ν
r
1 +
2
a
b
.
(43)
Применяя асимптотики
(41)
и
(43)
к выражениям для математиче
-
ского ожидания
(30)
и дисперсии
(31),
завершаем доказательство утвер
-
ждения
.
Теорема
3.
При
ν
→ ∞
и фиксированном
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
имеем
lim
ν
→∞
P
½
η
ν
−
m
ν
σ
ν
≤
x
¾
=
1
√
2
π
x
Z
−∞
e
−
y
2
/
2
dy.
Доказательство
.
Характеристическая функция случайной величи
-
ны
(
η
ν
−
m
ν
)
/σ
ν
равна
ϕ
ν
(
τ
) = M
µ
ωτ
η
ν
−
m
ν
σ
ν
¶
= exp
µ
−
ωτ
m
ν
σ
ν
¶
f
µ
exp
µ
ωτ
σ
ν
¶¶
=
=
µ
1 +
γ
ν
(
τ
)
b
¶
exp
µ
−
νγ
ν
(
τ
)
−
ωτ
m
ν
σ
ν
¶
Φ(1 +
aν,
2
,
2
ν
(
γ
ν
(
τ
) +
b
))
Φ(1 +
aν,
2
,
2
bν
)
,
где
γ
ν
(
τ
) = exp(
ωτ /σ
ν
)
−
1
.
Согласно формуле
(34)
имеем интегральное
представление
Φ(1 +
aν,
2; 2
ν
(
γ
ν
+
b
)) =
1
2
πω aν
(1+)
Z
0
e
νS
(
u,ν
)
du,
где
S
(
u, ν
) = 2(
γ
ν
+
b
)
u
+
a
ln(
u/
(
u
−
1))
.
Асимптотика интеграла при
ν
→ ∞
находится с помощью метода перевала
,
причем определяемая
из условия
S
0
u
(
u, ν
) = 0
критическая точка
u
0
(
ν
)
зависит от параметра
ν
[13,
гл
. 5, § 21].
Нетрудно получить соотношения
S
(
u
0
, ν
)
−
S
(
u
0
) = 2
u
0
γ
ν
, S
0
u
(
u
0
, ν
) = 2
γ
ν
, S
00
uu
(
u
0
, ν
) =
S
00
(
u
0
)
,
(44)
где
S
(
u
)
и
u
0
определены при доказательстве утверждения
3.
Посколь
-
ку
γ
ν
→
0
,
то
S
(
u, ν
)
→
S
(
u
)
и
u
0
(
ν
)
→
u
0
.
При этом выполнены
условия теоремы Фабера
[13,
теорема
21.3],
согласно которой главный
член асимптотики определяется выражением
(1+)
Z
0
e
νS
(
u,ν
)
du
∼
ω
s
2
π
νS
00
uu
(
u
0
, ν
)
exp
µ
νS
u
(
u
0
, ν
)
−
ν
(
S
0
u
(
u
0
, ν
))
2
2
S
00
uu
(
u
0
, ν
)
¶
,
(45)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
19
