I
0
(
z
) =
e
z
√
2
πz
µ
1 +
1
8
z
+
O
(
z
−
2
)
¶
,
(22)
I
1
(
z
) =
e
z
√
2
πz
µ
1
−
3
8
z
+
O
(
z
−
2
)
¶
.
(23)
Суммируя и вычитая формулы
(22)
и
(23),
получим
I
0
(
z
) +
I
1
(
z
) =
e
z
√
2
πz
(2 +
O
(
z
−
1
))
,
(24)
I
0
(
z
)
−
I
1
(
z
) =
e
z
√
2
πz
µ
1
2
z
+
O
(
z
−
2
)
¶
.
(25)
Из формул
(22)
и
(23)
следует также
I
0
(
z
)
I
1
(
z
)
= 1 +
o
(1)
.
(26)
Перемножая формулы
(24)
и
(25),
получаем
1
−
I
2
0
(
z
)
I
2
1
(
z
)
=
−
1
z
+
o
(
z
−
1
)
.
(27)
Подстановка асимптотик
(26)
и
(27)
в формулы
(21)
завершает доказа
-
тельство утверждения
.
Теорема
2.
При
ν
→ ∞
и фиксированном
x
∈
(
−∞
,
+
∞
)
имеем
lim
ν
→∞
P
½
η
ν
−
m
ν
σ
ν
≤
x
¾
=
1
√
2
π
x
Z
−∞
e
−
y
2
/
2
dy.
Доказательство
.
Обозначим
ϕ
ν
(
τ
)
характеристическую функцию
нормированной случайной величины
(
η
ν
−
m
ν
)
/σ
ν
.
Тогда получим
ϕ
ν
(
τ
) = M exp
µ
ωτ
η
ν
−
m
ν
σ
ν
¶
= exp
µ
−
ωτ
m
ν
σ
ν
¶
f
µ
exp
µ
ωτ
σ
ν
¶¶
=
=
r
1 +
γ
ν
(
τ
)
a
2
exp
µ
−
ωτ
m
ν
σ
ν
¶
I
1
(2
ν
p
γ
ν
(
τ
) +
a
2
)
I
1
(2
aν
)
,
где
ω
2
=
−
1
;
γ
ν
(
τ
) = exp(
ωτ/σ
ν
)
−
1
.
Согласно утверждению
2
имеем
σ
ν
→ ∞
и
,
следовательно
,
γ
ν
(
τ
)
→
0
.
Используя главный член асимп
-
тотики
(23),
получаем при
ν
→ ∞
ϕ
ν
(
τ
)
∼
exp
µ
2
aν
µr
1 +
γ
ν
(
τ
)
a
2
−
1
¶
−
ωτ
m
ν
σ
ν
¶
.
14
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
