где
Φ(
α, β
;
z
)
—
функция Куммера с параметрами
α
,
β
[12];
C
—
про
-
извольная константа
.
Соответственно
,
аналитическое в круге
|
s
|
<
1
решение уравнения
(9)
имеет вид
f
(
s
) =
C
(
s
+
p
2
0
)
e
−
νs
Φ(1+
aν,
2; 2
ν
(
s
+
+
p
2
0
))
.
С помощью условия нормировки
f
(1) = 1
приходим к выраже
-
нию для производящей функции стационарного распределения
:
f
(
s
) =
e
ν
(1
−
s
)
µ
s
+
p
2
0
1 +
p
2
0
¶
Φ(1 +
aν,
2; 2
ν
(
s
+
p
2
0
))
Φ(1 +
aν,
2; 2
ν
(1 +
p
2
0
))
.
(29)
Обозначим
η
ν
случайную величину на
N
=
{
0
,
1
, . . .
}
с распределе
-
нием
,
соответствующим производящей функции
(29).
Математическое
ожидание и дисперсия примут вид
m
ν
=
νφ
ν
+
1
b
,
(30)
σ
2
ν
=
ν
2
µ
1 +
2
a
b
−
φ
2
ν
¶
+
νφ
ν
µ
1
−
2
b
¶
+
1
b
+
1
b
2
,
(31)
где
b
= 1 +
p
2
0
,
φ
ν
=
2Φ
0
(1 +
aν,
2; 2
bν
)
Φ(1 +
aν,
2; 2
bν
)
−
1
.
(32)
Утверждение
3.
При
ν
→ ∞
справедливы асимптотики
m
ν
∼
ν
r
1 +
2
a
b
,
σ
2
ν
∼
ν
µ
1
−
a
b
(2
a
+
b
)
¶ r
1 +
2
a
b
.
(33)
Доказательство
.
Воспользуемся интегральным представлением
функции Куммера
[12,
гл
. 6, § 11,
формула
(2)]:
Φ(
α, β
;
z
) =
1
2
πω
Γ(
β
)Γ(
α
−
β
+ 1)
Γ(
α
)
(1+)
Z
0
e
zu
u
α
−
1
(
u
−
1)
β
−
α
−
1
du,
(34)
Re
α >
0
.
Здесь
Γ(
α
)
—
гамма
-
функция
,
а контуром интегрирования
служит петля
,
которая начинается и заканчивается в точке
u
= 0
и об
-
ходит точку
u
= 1
в положительном направлении
.
Полученные далее
асимптотики для выражений
,
содержащих функцию
Φ(1 +
aν,
2; 2
bν
)
,
основаны на вычислении асимптотики при
ν
→ ∞
интеграла
(1+)
Z
0
e
νS
(
u
)
h
(
u
)
du, S
(
u
) = 2
bu
+
a
ln
u
u
−
1
(35)
(
под значением логарифма подразумевается главная ветвь
),
где
h
(
u
)
—
функция
,
аналитическая в области
Re
u >
0
.
Указанная асимптотика
16
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
