константы
.
Из представлений
I
1
(
z
)
и
K
1
(
z
)
в форме рядов
[17,
гл
. 7,
§ 2,
формулы
(2)
и
(37)]
следует
,
что первое слагаемое в выражении
(19) —
функция
,
аналитическая на всей комплексной плоскости
s
,
а
второе слагаемое
—
функция неаналитическая в точке
s
=
−
p
2
0
.
Если
p
2
0
<
1
,
то
C
2
= 0
,
так как производящая функция
f
(
s
)
по определению
является аналитической в круге
|
s
|
<
1
.
Если
p
2
0
= 1
,
то
C
2
= 0
,
так
как в этом случае
f
(
s
) =
C
1
p
s
+
p
2
0
I
1
(2
ν
p
s
+
p
2
0
)
представляет собой
единственное
(
с точностью до множителя
C
1
>
0
)
решение уравнения
(18),
все коэффициенты которого при разложении в ряд по степеням
s
неотрицательны
.
Определяя константу
C
1
из условия
f
(1) = 1
,
прихо
-
дим к выражению для производящей функции стационарного распре
-
деления
f
(
s
) =
s
s
+
p
2
0
1 +
p
2
0
I
1
(2
ν
p
s
+
p
2
0
)
I
1
(2
ν
p
1 +
p
2
0
)
.
(20)
Случай
p
2
0
= 1
соответствует химической реакции
A
→
T
,
2
T
→
B
[18,
гл
. 9, § 1],
в которой концентрации веществ
A
и
B
поддерживаются
постоянными
.
Выражения для стационарных вероятностей
q
j
[18,
гл
. 9,
§ 1,
формула
(15)]
следуют из разложения функции
(20)
в ряд по степе
-
ням
s
.
Рассмотрим случайную величину
η
ν
на множестве
N
=
{
0
,
1
, . . .
}
с распределением
,
определяемым функцией
(20).
Дифференцируя вы
-
ражение
(20)
с использованием соотношения для модифицированных
функций Бесселя
zI
0
1
(
z
) =
zI
0
(
z
)
−
I
1
(
z
)
[17,
гл
. 7, § 2,
формула
(54)],
получим
f
0
(1) =
ν
a
I
0
(2
aν
)
I
1
(2
aν
)
,
где
a
=
p
1 +
p
2
0
.
Из уравнения
(18)
следует
,
что
f
00
(1) =
ν
2
/a
2
.
Под
-
ставляя значения производных в формулы
(6),
получаем выражения для
математического ожидания
m
ν
= M
η
ν
и дисперсии
σ
2
ν
= D
η
ν
:
m
ν
=
ν
a
I
0
(2
aν
)
I
1
(2
aν
)
,
σ
2
ν
=
ν
2
a
2
µ
1
−
I
2
0
(2
aν
)
I
2
1
(2
aν
)
¶
+
ν
a
I
0
(2
aν
)
I
1
(2
aν
)
.
(21)
Утверждение
2.
При
ν
→ ∞
справедливы асимптотики
m
ν
∼
ν
a
,
σ
2
ν
∼
µ
1
−
1
2
a
2
¶
ν
a
.
Доказательство
.
Воспользуемся асимптотиками для модифициро
-
ванных функций Бесселя при
|
z
| → ∞
,
|
arg
z
| ≤
π/
2
−
δ < π/
2
[17,
гл
. 7, § 13,
формула
(5)]:
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
13
