приходим к асимптотике
ϕ
ν,n
(
τ
)
∼
exp
µ
ωτ
ν
−
m
ν,n
σ
ν,n
−
ντ
2
2
σ
2
ν,n
¶
.
(17)
Согласно формулам
1
−
th(
z
)
∼
2
e
−
2
z
,
1
−
cth(
z
)
∼ −
2
e
−
2
z
при
z
→
+
∞
из выражений
(13)
и
(14)
имеем
ν
−
m
ν,n
=
o
(1)
,
ν
→ ∞
.
Таким образом
,
первое слагаемое под знаком экспоненты в выраже
-
нии
(17)
стремится к нулю
.
Отсюда
,
учитывая асимптотику для
σ
2
ν,n
из
утверждения
1,
получаем окончательно
ϕ
ν,n
(
τ
)
∼
exp
µ
−
ντ
2
2
σ
2
ν,n
¶
∼
e
−
τ
2
/
2
.
Теорема доказана
.
Решение стационарного уравнения в случае
p
0
2
= 0
.
Предельная
теорема
.
Имеем процесс со схемой взаимодействий
0
→
T
,
2
T
→
k
2
T
,
k
2
= 0
,
1
,
т
.
е
.
поступление в систему частиц можно интерпретировать
как пуассоновский поток с интенсивностью
λ
[6,
гл
. 2, § 1].
Возможные
переходы марковского процесса из одного состояния в другое и их ин
-
тенсивности показаны на рис
. 3.
Уравнение
(9)
принимает вид
µ
(
s
+
p
2
0
)
d
2
f
(
s
)
ds
2
−
λf
(
s
) = 0
.
(18)
После замены переменных
z
= 2
ν
p
s
+
p
2
0
(
здесь и далее под
√
z
под
-
разумевается главная ветвь
),
y
(
z
) =
z
−
1
f
(
s
)
,
где
ν
=
p
λ/µ
,
уравне
-
ние
(18)
сводится к модифицированному уравнению Бесселя
z
2
y
00
+
+
zy
0
−
(
z
2
+ 1)
y
= 0
[17,
гл
. 7, § 2,
уравнение
(11)].
Следуя работе
[17],
имеем общее решение уравнения
(18)
в виде
f
(
s
) =
C
1
q
s
+
p
2
0
I
1
(2
ν
q
s
+
p
2
0
) +
C
2
q
s
+
p
2
0
K
1
(2
ν
q
s
+
p
2
0
)
,
(19)
где
I
1
(
z
)
и
K
1
(
z
)
—
модифицированные функции Бесселя первого по
-
рядка соответственно первого и второго рода
;
C
1
,
C
2
—
произвольные
Рис
. 3.
Диаграмма переходов в случае
p
0
2
= 0
12
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
